Oppenheim-Vermutung

In der Mathematik ist die Oppenheim-Vermutung eine inzwischen bewiesene Vermutung über die Werte quadratischer Formen und das klassische Beispiel für die Anwendung ergodentheoretischer Methoden in der Zahlentheorie.

Aussage

Sei $n\ge 3$ und

$Q:{ℝ}^n\to ℝ$

eine indefinite quadratische Form in $n$ Variablen, die kein Vielfaches einer Form mit rationalen Koeffizienten ist.

Dann gibt es für jedes $ϵ>0$ ein $x\in {\mathbb{Z}}^n$ mit

$0<Q(x)<ϵ$.

Als Korollar erhält man, dass $Q({\mathbb{Z}}^n)\subset ℝ$ eine dichte Teilmenge von $ℝ$ ist.

Beispiel: Für jedes $ϵ>0$ gibt es ganze Zahlen $a,b,c$ mit

$\mid a^2+b^2-\sqrt{2}{c}^2\mid <ϵ$.

Geschichte

Die Vermutung in dieser Form wurde 1953 (eine schwächere Vorgänger-Version schon 1929) von Alexander Oppenheim aufgestellt und für $n\ge 21$ von Bryan Birch, Harold Davenport und D. Ridout bewiesen. Der allgemeine Fall lässt sich auf den Fall $n=3$ zurückführen und dieser wurde von M. S. Raghunathan in folgende Vermutung über die Links-Wirkung von $SO(2,1)$ auf dem Quotientenraum $SL(3,ℝ)/SL(3,\mathbb{Z})$ umformuliert:

Jeder beschränkte $SO(2,1)$-Orbit auf $SL(3,ℝ)/SL(3,\mathbb{Z})$ ist kompakt.

Diese Vermutung wurde 1987 von Grigori Margulis bewiesen. Eine allgemeinere Version der Raghunathan-Vermutung ist der heutige Satz von Ratner.