Offenes Buch

In der Mathematik sind Offene Bücher (engl.: open book decompositions) gewisse Zerlegungen von Mannigfaltigkeiten, die bei der Klassifikation von Kontaktstrukturen und bei der Konstruktion von Blätterungen nützlich sind.

Definition

Sei $M$ eine geschlossene orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. Ein offenes Buch auf $M$ ist ein Paar $(B,\pi )$ mit:

1. $B$ ist eine orientierte $(n-2)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die Bindung des offenen Buches.
2. $\pi :M\setminus B\to S^1$ ist ein Faserbündel, so dass ${\pi }^{-1}(\theta )$ das Innere einer kompakten $(n-1)$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\mathrm{\Sigma }}_{\theta }$ – der Seite des offenen Buches – und $\partial {\mathrm{\Sigma }}_{\theta }=B$ für alle $\theta \in S^1$ ist.

Existenz

Satz von Alexander (1920): Jede geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeit lässt sich als offenes Buch darstellen.

Satz von Winkelnkemper (1973): Eine einfach zusammenhängende geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension $n\ge 6$ lässt sich als offenes Buch darstellen genau dann, wenn ihre Signatur verschwindet. (Letzteres trifft insbesondere immer zu, falls $n$ nicht durch 4 teilbar ist.)  

Blätterungen

Sei $(B,\pi )$ ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit $M$. Dann hat $M-B$ eine Blätterung durch Fasern von $\pi$ und auf einer Umgebung der Bindung $U(B)=B\times D^2$ kann man die Reeb-Blätterung definieren, diese hat insbesondere $B\times \partial D^2$ als ein kompaktes Blatt. Durch Turbulisierung kann man die Blätterung auf $M\setminus U(B)$ tangential zu diesem kompakten Blatt machen, erhält also eine Blätterung auf ganz $M$.

Kontaktstrukturen

Sei $(B,\pi )$ ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit $M$. Eine Kontaktstruktur $\xi =\ker (\alpha )$ wird von $(B,\pi )$ getragen, wenn

1. $d\alpha$ eine positive Volumenform auf jeder Seite ${\mathrm{\Sigma }}_{\theta }$ ist und
2. $\alpha >0$ auf der Bindung $B$.

Satz von Thurston-Winkelnkemper (1975): Jedes offene Buch trägt eine Kontaktstruktur.

Satz von Giroux (2000): Jede orientierte Kontaktstruktur wird von einem offenen Buch getragen. Zwei vom selben offenen Buch getragene Kontaktstrukturen sind isotop.

Literatur

• Etnyre: Lectures on open book decompositions and contact structures (PDF; 426 kB)
• Martínez: Open Book decompositions and contact geometry (PDF; 223 kB)

Weblinks

• Manifold Atlas: Open Book