Reeb-Blätterung

In der Mathematik ist die Reeb-Blätterung eine spezielle Blätterung des Volltorus, benannt nach Georges Reeb.

Konstruktion

Querschnitt durch eine Reeb-Blätterung.

Definiere eine Submersion

$f:D^2\times ℝ\to ℝ$

durch

$f(x,t):=(|x{|}^2-1)e^t,$

wobei $D^2$ die 2-dimensionalen Kreisscheibe ist. Die Niveaumengen dieser Submersion bilden eine Blätterung von $D^2\times ℝ$. Diese ist invariant unter der durch

$(x,t)\mapsto (x,t+n)$ für $(x,t)\in D^2\times ℝ,n\in \mathbb{Z}$

gegebenen $\mathbb{Z}$-Wirkung, weil $f(x,t+n)=c_{n}f(x,t)$ mit der von $x,t$ unabhängigen Konstanten $c_n=e^n$ ist. Die induzierte Blätterung des Volltorus $D^2\times S^1\cong (D^2\times ℝ)/\mathbb{Z}$ heißt Reeb-Blätterung. Der berandende Torus

$T^2\cong \partial (D^2\times S^1)$

ist ein Blatt dieser Blätterung (die Niveaumenge $f=0$).

Reeb-Komponenten

Man sagt, eine Blätterung $ℱ$ einer 3-Mannigfaltigkeit $M$ habe eine Reeb-Komponente, wenn es einen eingebetteten Volltorus

$D^2\times S^1\subset M$

gibt, so dass die Einschränkung von $ℱ$ auf $D^2\times S^1$ homöomorph zur Reeb-Blätterung ist.

Beispiel: Reeb-Blätterung der 3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre erhält man durch Verkleben zweier Volltori, siehe Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre. Die Reeb-Blätterung der 3-Sphäre erhält man durch die Reeb-Blätterungen der beiden Volltori.

Existenz von Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten

Nach einem Satz von Lickorish erhält man jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung in der 3-Sphäre. Man kann diesen Satz benutzen, um auf jeder geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit Blätterungen mit Reeb-Komponenten zu konstruieren.

Dagegen besitzen nicht alle geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten Blätterungen ohne Reeb-Komponenten.

Sogenannte straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) besitzen keine Reeb-Komponenten.

Eigenschaften

Die Reeb-Blätterung ist $C^{\mathrm{\infty }}$, aber nicht analytisch.

Ihr Blattraum ist nicht Hausdorffsch.

Literatur

• Harold William Rosenberg, Robert Roussarie: Reeb foliations. Ann. of Math. (2) 91 1970 1–24. pdf

Weblinks

• Manifold Atlas