Normale Größenordnung

In der Zahlentheorie ist die normale Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere oder besser verstandene Funktion, die „im Allgemeinen“ dieselben oder angenäherte Werte annimmt.

Definition

Es sei $f$ eine Funktion über den natürlichen Zahlen. Man sagt, $f$ ist von der normalen Größenordnung $g$, wenn für jedes $\epsilon >0$ die Ungleichung

$|f(n)-g(n)|<\epsilon \cdot g(n)$

für "fast alle" $n$ erfüllt ist. Damit ist hier gemeint, dass die asymptotische Dichte der Zahlen, die ihr genügen, gleich 1 ist: Wenn also $a(N,\epsilon )$ als Anzahl dieser Zahlen im Intervall $n\in [1,N]$ definiert wird, ist für jedes $\epsilon >0$ der Grenzwert $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(N,\epsilon )}{N}=1$.

Üblicherweise benutzt man Näherungsfunktionen $g$, die stetig und monoton sind.

Natürlich besitzt nicht jede zahlentheoretische Funktion eine normale Größenordnung. So hat z. B. die Funktion

$f(n):=0$ ($n$ gerade), $f(n):=2$ ($n$ ungerade) keine normale Größenordnung (sie hat aber die durchschnittliche Größenordnung $f(n)\sim 1$.)

Beispiele

Datei:Omega normal.svg

Werte und normale Größenordnung von ω(n) und Ω(n)

Datei:D normal.svg

Werte und normale Größenordnung von ln (d(n))

• Die normale Größenordnung der Ordnung $\mathrm{\Omega }(n)$ von $n$, also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von $n$, als auch von $\omega (n)$ als Zahl der verschiedenen Primfaktoren, ist $\ln \ln n$ und ist damit auch gleich ihrer durchschnittlichen Größenordnung (Satz von Hardy und Ramanujan).
  Da die Funktion $\ln \ln n$ sehr langsam wächst, bedeutet das, dass z. B. eine Zahl in der Nähe von $10^{80}$ (näherungsweise die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum) im Allgemeinen aus 5 oder 6 Primfaktoren zusammengesetzt ist.
• Die normale Größenordnung des Logarithmus der Teileranzahlfunktion $\ln d(n)$ ist $\ln 2\cdot \ln \ln n$ (Hardy/Ramanujan). Das heißt, für beliebiges $\epsilon >0$ besteht die Ungleichung
  $2^{(1-\epsilon )\ln \ln n}<d(n)<2^{(1+\epsilon )\ln \ln n}$ für fast alle $n$.

Siehe auch

• Durchschnittliche Größenordnung

Weblinks

• Vorlage:MathWorld