Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Asymptotische Dichte

Sei $A\subseteq \mathbb{N}$ und definiere die Zählfunktion

$a(n):=|\{a\le n:a\in A\}|$

für ein $n\in \mathbb{N}$, wobei $|\cdot |$ die Mächtigkeit bezeichnet.

Falls der Grenzwert

$d(A):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(n)}{n}$

existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von $A$. Es gilt $0\le d(A)\le 1$.

Erläuterungen

Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form

$D(A)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\sum _{a\le n,a\in A}{\lambda }_a/\sum _{x\le n}{\lambda }_x.$

Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl ${\lambda }_x=1$ für alle $x\ge 1$.

Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte $\delta (A)$, welche man durch die Wahl ${\lambda }_x=1/x$ für alle $x\ge 1$ erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\approx \log (n)+\gamma$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als

$\delta (A)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{\log (n)}\sum _{a\le n,a\in A}\frac{1}{a},$

falls sie existiert.

Obere und untere asymptotische Dichte

Die obere asymptotische Dichte $\bar{d}(A)$ von $A$ ist durch

$\bar{d}(A):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a(n)}{n}$

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist $\underset{\_}{d}(A)$ die durch

$\underset{\_}{d}(A):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a(n)}{n}$

definierte untere asymptotische Dichte von $A$. $A$ hat nur dann eine asymptotische Dichte $d(A)$, wenn $\underset{\_}{d}(A)=\bar{d}(A)$ gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(n)}{n}=\underset{\_}{d}(A)=\bar{d}(A)=:d(A)$

und daher kann durch ihn $d(A)$ definiert werden.

Beispiele

• Wenn $d(A)$ für die Menge $A$ existiert, dann gilt für die bezüglich $\mathbb{N}$ komplementäre Menge $\bar{A}$: $d(\bar{A})=1-d(A)$
• $d(\mathbb{N})=1$
• Für eine beliebige endliche Menge $E$ natürlicher Zahlen gilt: $d(E)=0$
• Für die Menge $A=\{n^2;n\in \mathbb{N}\}$ aller Quadratzahlen gilt: $d(A)=0$
• Für die Menge $A=\{2n;n\in \mathbb{N}\}$ aller geraden Zahlen gilt: $d(A)=1/2$
• Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge $A=\{an+b;n\in \mathbb{N}\}$ mit positivem $a$: $d(A)=1/a$
• Für die Menge $P$ aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes: $d(P)=0$
• Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte $6/{\pi }^2=1/\zeta (2)$ mit der Riemannschen Zetafunktion $\zeta$.
• Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
• Die Menge $A=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{2^{2n},\dots ,2^{2n+1}-1\}$ aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}=\frac{1}{3}$

$\bar{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}=\frac{2}{3}$

Quellen

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