Newtonsche Ungleichungen

In der Mathematik sind die newtonschen Ungleichungen Ungleichungen, die nach Isaac Newton, dem Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, benannt wurden.

Aussage

Seien $a_1,\dots ,a_n$ reelle Zahlen und seien ${\sigma }_k$ die $k$-ten elementarsymmetrischen Polynome in $a_1,\dots ,a_n$, definiert durch

${\sigma }_k=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}{\mathrm{\#}S=k}}\prod _{i\in S}{a}_i.$

Es gelten beispielsweise ${\sigma }_1=a_1+\cdots +a_n$ und ${\sigma }_n=a_1\cdots a_n$.

Dann erfüllen die elementaren symmetrischen Mittel, definiert durch

$S_k=\frac{{\sigma }_k}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})},$

die Ungleichungen

$S_{k-1}{S}_{k+1}\le S_k^2$

für alle ganzen Zahlen $0<k<n$.

Falls alle $a_i$ ungleich Null sind, dann gilt Gleichheit genau dann, falls alle $a_i$ gleich sind. Es sei bemerkt, dass $S_1$ das arithmetische Mittel und $S_n$ die $n$-te Potenz des geometrischen Mittels der $a_i$ ist.

Siehe auch

• Maclaurin-Ungleichung

Einzelnachweise

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• D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p. 55
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