Multivektor

In der Mathematik ist ein Multivektor eine formale Summe von Ausdrücken der Form $v_{1} \land v_{2} \land \dots \land v_{n}$ mit Vektoren $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ und $n \in ℕ$ . In Physik und Elektrotechnik ist das Rechnen mit Multivektoren oft nützlich.

Mathematisch handelt es sich bei Multivektoren um Elemente der äußeren Algebra $Λ^{*} V$ eines Vektorraumes $V$ . Diese Algebra ist graduiert und ein $k$ -Vektor ist ein Element von $Λ^{k} V$ , also eine Summe von Produkten aus $k$ Vektoren $v_{1} \land v_{2} \land \dots \land v_{k}$ .

Man spricht von Skalaren, Vektoren, Bivektoren und Trivektoren, wenn es sich um $k$ -Vektoren mit $k = 0, 1, 2$ und $3$ handelt.

Äußeres Produkt

Vorlage:Hauptartikel

Das für die Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt ist multilinear (linear in jedem Argument), assoziativ und alternierend. Das heißt, dass für Vektoren $u, v, w$ in einem Vektorraum $V$ und für Skalare $α, β$ gilt

$𝐮 \land (α 𝐯 + β 𝐰) = α 𝐮 \land 𝐯 + β 𝐮 \land 𝐰;$
$(𝐮 \land 𝐯) \land 𝐰 = 𝐮 \land (𝐯 \land 𝐰);$
$𝐮 \land 𝐮 = 0 .$

Wenn $e_{1}, \dots, e_{d}$ eine Basis von $V$ bilden, dann bilden die $(\begin{matrix} d \\ k \end{matrix})$ äußeren Produkte von je $k$ Basisvektoren eine Basis von $Λ^{k} V$ .

Beispiele

Multivektoren im R²

Sei $e_{1}, e_{2}$ eine Basis von $ℝ^{2}$ , dann kann man Vektoren im $ℝ^{2}$ zerlegen als

𝐮 = u_{1} 𝐞_{1} + u_{2} 𝐞_{2}, 𝐯 = v_{1} 𝐞_{1} + v_{2} 𝐞_{2},

und der Bivektor $u \land v$ berechnet sich als

𝐮 \land 𝐯 = | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{2}) .

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also der Flächeninhalt des von den Vektoren $u$ und $v$ aufgespannten Parallelogramms.

Der Bivektor $e_{1} \land e_{2}$ ist eine Basis von $Λ^{2} ℝ^{2}$ .

Multivektoren im R³

Sei $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}$ eine Basis von $ℝ^{3}$ , dann kann man Vektoren im $ℝ^{3}$ zerlegen als

𝐮 = u_{1} 𝐞_{1} + u_{2} 𝐞_{2} + u_{3} 𝐞_{3}, 𝐯 = v_{1} 𝐞_{1} + v_{2} 𝐞_{2} + v_{3} 𝐞_{3}, 𝐰 = w_{1} 𝐞_{1} + w_{2} 𝐞_{2} + w_{3} 𝐞_{3},

und der Bivektor $𝐮 \land 𝐯$ berechnet sich als

𝐮 \land 𝐯 = | \begin{matrix} u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{matrix} | (𝐞_{2} \land 𝐞_{3}) + | \begin{matrix} v_{1} & u_{1} \\ v_{3} & u_{3} \end{matrix} | (𝐞_{3} \land 𝐞_{1}) + | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{2}) .

Mithilfe des Vektorraumisomorphismus $φ : ℝ^{3} \to Λ^{2} (ℝ^{3})$ definiert durch

\begin{matrix} 𝐞_{1} \mapsto 𝐞_{2} \land 𝐞_{3} \\ 𝐞_{2} \mapsto 𝐞_{3} \land 𝐞_{1} \\ 𝐞_{3} \mapsto 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \end{matrix}

sieht man, dass die Komponenten des Bivektors $𝐮 \land 𝐯$ übereinstimmen mit denen des Kreuzprodukts $𝐮 \times 𝐯$ , d. h. es gilt $φ (𝐮 \times 𝐯) = 𝐮 \land 𝐯$ .

Der Trivektor $𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \land 𝐞_{3}$ ist eine Basis von $Λ^{3} ℝ^{3}$ . Man berechnet

𝐮 \land 𝐯 \land 𝐰 = | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \land 𝐞_{3}) .

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also das Volumen des von den Vektoren $u, v$ und $w$ aufgespannten Parallelepipeds.

Multivektoren und Multivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

In der Differentialgeometrie bezeichnet man als $k$ -Vektor ein Element aus $Λ^{k} T_{x} M$ , wobei $T_{x} M$ der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $x \in M$ ist.

Ein Multivektorfeld ist ein Schnitt des $Λ^{k} T M$ des Tangentialbündels $T M$ .^[1]

Einzelnachweise

↑ Vorlage:Literatur

[1] Vorlage:Literatur

[1]

Multivektor

Inhaltsverzeichnis

Äußeres Produkt

Beispiele

Multivektoren im R²

Multivektoren im R³

Multivektoren und Multivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

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