Monoid-Objekt

Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition

Es sei $𝒞$ eine monoidale Kategorie mit dem Funktor $-\otimes -:𝒞\times 𝒞\to 𝒞$, dem Einheitsobjekt $I\in |𝒞|$, der natürlichen Transformation $\alpha$ mit den Komponenten ${\alpha }_{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$, sowie den natürlichen Transformationen $\lambda :(I\otimes -)\to {\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}$ und $\rho :(-\otimes I)\to {\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}$ gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt $M\in |𝒞|$ zusammen mit zwei Pfeilen $\eta :I\to M$ und $\mu :M\otimes M\to M$, für die die Gleichungen

• $\mu \circ (\mu \otimes M)=\mu \circ (M\otimes \mu )\circ {\alpha }_{M,M,M}:(M\otimes M)\otimes M\to M$,
• $\mu \circ (M\otimes \eta )={\rho }_M:M\otimes I\to M$ und
• $\mu \circ (\eta \otimes M)={\lambda }_M:I\otimes M\to M$

gelten.

Beispiele

• Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
• Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
• In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
• Ist $𝒞$ eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie ${𝒞}^{𝒞}$ mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in ${𝒞}^{𝒞}$ sind Monaden.

Literatur

• Vorlage:Literatur