Gruppenobjekt

Ein Gruppenobjekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Gruppe. Ein typisches Beispiel für ein Gruppenobjekt ist eine topologische Gruppe.

Definition

Sei $𝒞$ eine Kategorie mit endlichen Produkten. Wir bezeichnen das Finalobjekt mit $1$. Ein Gruppenobjekt in $𝒞$ ist ein Objekt $G$ von $𝒞$ zusammen mit drei Morphismen

• $m:G\times G\to G$, Multiplikation
• $e:1\to G$, Inklusion des neutralen Elements
• $i:G\to G$, Inversion

sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• $m$ ist assoziativ, das heißt $m\circ (m\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)=m\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\times m)$ als Morphismen $G\times G\times G\to G$.
• $e$ ist ein zweiseitiges neutrales Element für $m$, das heißt $m\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\times e)=p_1$ und $m\circ (e\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)=p_2$, wobei $p_1:G\times G\to G$ (bzw. $p_2$) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
• $i$ ist ein zweiseitiges inverses Element für $m$, das heißt $m\circ (i\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)\circ {\mathrm{\Delta }}_G=e$ und $m\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\times i)\circ {\mathrm{\Delta }}_G=e$. Hier bezeichnet ${\mathrm{\Delta }}_G:G\to G\times G$ die Diagonale.

Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden. Ein Morphismus von Gruppenobjekten $(G,m,e,i)\to (G^{\prime },m^{\prime },e^{\prime },i^{\prime })$ ist ein Morphismus $f:G\to G^{\prime }$, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt $f\circ m=m^{\prime }\circ (f\times f)$, $f\circ i=i^{\prime }\circ f$ und $f\circ e=e^{\prime }$. Die Klasse der Gruppenobjekte von $𝒞$ bildet zusammen mit Morphismen von Gruppenobjekten wieder eine Kategorie, die wir für den Rest des Artikels mit $𝖦𝗋𝗉(𝒞)$ bezeichnen.

Alternativ kann ein Gruppenobjekt als darstellbarer Funktor $F:{𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐆𝐫𝐩$ in die Kategorie der Gruppen $𝐆𝐫𝐩$ beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.

Ein Gruppenobjekt ist kommutativ, wenn $m\circ \tau =m$ gilt. Hierbei ist $\tau :G\times G\to G\times G$ die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von $p_2$ und $p_1$ induziert.

Beispiele

• Jede Gruppe kann als Gruppenobjekt in der Kategorie der Mengen $𝐒𝐞𝐭$ aufgefasst werden. Umgekehrt definiert jedes Gruppenobjekt in $𝐒𝐞𝐭$ eine Gruppe. Die Kategorien $𝐆𝐫𝐩$ und $𝖦𝗋𝗉(𝐒𝐞𝐭)$ sind also äquivalent.
• Auf ähnliche Weise ist jede topologische Gruppe ein Gruppenobjekt in der Kategorie der topologischen Räume.
• Eine abelsche Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen. Die Strukturmorphismen eines Gruppenobjektes in der Kategorie der Gruppen stimmen nach dem Eckmann-Hilton-Argument mit der ursprünglichen Gruppenstruktur überein.
• Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten.
• Eine Lie-Supergruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Supermannigfaltigkeiten.
• Eine H-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Homotopiekategorie topologischer Räume $𝐡𝐓𝐨𝐩$.
• Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten.
• Ein Gruppenschema ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Schemata. Elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten können als Gruppenschemata aufgefasst werden.
• Eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum oder einem Situs ist ein abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie der Garben.
• Ist $𝒜$ eine abelsche Kategorie, so ist jedes Objekt auf eindeutige Weise ein kommutatives Gruppenobjekt.
• Eine strikte 2-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der kleinen Kategorien.

Kogruppenobjekte

Analog kann man in einer Kategorie $𝒞$ mit endlichen Koprodukten sogenannte Kogruppenobjekte definieren. Wir sprechen von Komultiplikation, koneutralem Element und Koinversion. Die Kogruppenobjekte von $𝒞$ sind gerade die Gruppenobjekte von ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$. Wir können Kogruppenobjekte auch als darstellbare Funktoren $𝒞\to 𝐆𝐫𝐩$ auffassen. Die Kogruppenobjekte bilden eine Kategorie $𝖢𝗈𝖦𝗋𝗉(𝒞)$. Ein Kogruppenobjekt ist kokommutativ, wenn es als Gruppenobjekt von ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ kommutativ ist.

Beispiele für Kogruppenobjekte sind:

• Die Kategorie $𝖢𝗈𝖦𝗋𝗉(𝐒𝐞𝐭)$ enthält nur die leere Kogruppe $\mathrm{\varnothing }$ als Objekt. Genauso enthält $𝖢𝗈𝖦𝗋𝗉(𝐓𝐨𝐩)$ nur die leere Kogruppe.
• Eine kommutative Hopf-Algebra ist ein Kogruppenobjekt in der Kategorie der kommutativen Ringe. Die Kategorie der kommutativen Hopf-Algebren ist anti-äquivalent zur Kategorie der affinen Gruppenschemata.
• Eine H-Kogruppe ist ein Kogruppenobjekt in der Homotopiekategorie punktierter topologischer Räume ${𝐡𝐓𝐨𝐩}_{*}$.
• In einer abelschen Kategorie $𝒜$ besitzt jedes Objekt eine eindeutige kokommutative Kogruppenstruktur. Die Komultiplikation ist durch die Diagonale gegeben.

Gruppenobjekte als Modelle

Ist $ℰ$ ein Topos, so ist ein Modell der Theorie der Gruppen über $ℰ$ gerade ein Gruppenobjekt in $ℰ$. In diesem Zusammenhang können auch Torsore über Gruppenobjekten definiert werden.

Literatur

• Vorlage:Literatur §8.2 „Gruppenobjekte“
• Vorlage:Literatur §III.6 „Groups in categories“