Mahler-Volumen

In der Konvexgeometrie ist das Mahler-Volumen eines punktsymmetrischen konvexen Körpers eine Größe der Dimension Zahl, das abhängig vom Körper aber invariant unter linearen Abbildungen ist. Nach der Blaschke-Santaló-Ungleichung sind die Körper mit dem größtmöglichen Mahler-Volumen Bälle und Ellipsoide. Die bisher unbewiesene Mahler-Vermutung besagt, dass das minimale Mahler-Volumen durch Hyperwürfel angenommen wird. Benannt ist das Mahler-Volumen nach dem britischen Mathematiker deutscher Herkunft Kurt Mahler.

Definition

Sei $E$ ein $n$-dimensionaler Euklidischer Raum und $\mathrm{vol}(\cdot )$ das Lebesgue-Maß.

Ein konvexer Körper in $E$ ist als kompakte konvexe Menge mit nicht-leerem Inneren definiert. Wenn $B\subset E$ ein punktsymmetrischer Körper ist, so ist die polare Menge

$B^{\circ }=\{x\in E\mid x\cdot y\le 1\mathrm{\forall }y\in B\}$

ebenfalls ein punktsymmetrischer Körper in $E$.

Das Mahler-Volumen von $B$ ist das Produkt

$M(B)=\mathrm{vol}(B)\mathrm{vol}(B^{\circ }).$

Ist $T$ eine invertierbare lineare Abbildung in $E$ und $T^{*}$ seine Transponierte, so ist

$(TB{)}^{\circ }=(T^{-1}{)}^{\ast }{B}^{\circ }$

Das Volumen von $T(B)$ ist um den Faktor $\det T$ von dem Volumen von $B$ verschieden; analog unterscheidet sich das Volumen von $T(B^{\circ })$ um $\det (T^{-1}{)}^{\ast }$ von dem von $B^{\circ }$. Weil diese Determinanten Multiplikative Inverse sind, bleibt insgesamt das Mahler-Volumen von B durch lineare Abbildungen erhalten.

Beispiele

Das Innere einer n-Sphäre ist selbst eine Einheitssphäre. Folglich ist das Mahler-Volumen das Quadrat des Volumens

$\frac{\mathrm{\Gamma }(3/2{)}^{2n}{4}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1{)}^2}$,

wobei $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion ist. Ellipsoide haben aufgrund affiner Invariant dasselbe Mahler-Volumen.