Macdonald-Polynome

Die Macdonald-Polynome sind in der Mathematik eine Familie von orthogonalen symmetrischen Polynomen in mehreren Variablen. Sie verallgemeinern eine große Familie von orthogonalen Polynomen wie die Schur-Funktionen, Hall-Littlewood-Polynome und die Askey-Wilson-Polynome.

Sie wurden 1988 von Ian Macdonald eingeführt.

Definition

Notation

• ${\mathrm{\Lambda }}_n=\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n{]}^{{𝔖}_n}=\underset{r\ge 0}{⨁}{\mathrm{\Lambda }}_n^r$ bezeichnet den graduierten Subring der symmetrischen Polynome, wobei die Notation bedeutet, dass die symmetrische Gruppe ${𝔖}_n$ auf dem Polynomring $\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$ operiert. $\mathrm{\Lambda }=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\underset{r\ge 0}{⨁}{\mathrm{\Lambda }}_n^r$ bezeichnet den Limes.
• $F:=\mathbb{Q}(q,t)$ bezeichnet der Körper der rationalen Funktionen in $q$ und $t$.
• ${\mathrm{\Lambda }}_F:=\mathrm{\Lambda }{\otimes }_{\mathbb{Z}}F$ ist der graduierte Ring der symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten in $F$
• ${\mathrm{\Lambda }}_{n,F}:={\mathrm{\Lambda }}_n{\otimes }_{\mathbb{Z}}F$ ist der graduierte Ring der symmetrischen Polynome mit $n$ Unbestimmten und Koeffizienten in $F$.
• $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r,\dots )$ ist eine Partition und $l(\lambda )$ die Anzahl der von Null verschiedenen Teile. Wenn $\lambda$ aus $m_1$ Teilen gleich $1$ und $m_2$ Teilen gleich $2$ besteht, dann schreiben wir $\lambda =(1^{m_1}{2}^{m_2},\dots )$.
• $\lambda \prec \mu$ bezeichnet die Dominanz-Ordnung für zwei Partitionen, in Formeln:

$\lambda \prec \mu :⟺|\lambda |=|\mu |\wedge {\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n\le {\mu }_1+\dots +{\mu }_n$ für alle $n\ge 1$.

• $m_{\lambda }$ ist die monomiale symmetrische Funktion

$m_{\lambda }(x)=\sum _{\alpha \sim \lambda }{x}^{\alpha }=\sum _{\alpha \sim \lambda }{x}_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$

wobei $\alpha \sim \lambda$ bedeutet, dass $\alpha$ eine Permutation der Elemente von $\lambda$ ist. Die Menge $\{m_{\lambda }\}$ mit allen Partitionen $\lambda$ mit höchstens $n$ Teilen bildet eine lineare Basis für ${\mathrm{\Lambda }}_n$.

Für allgemeine Wurzelsysteme

• $R$ bezeichnet ein reduziertes Wurzelsystem eines Vektorraumes $V$ mit Zerlegung $R=R_{+}\cup (-R^{+})$.
• $P^{+}:=\{\lambda \in V|(\lambda ,{\alpha }^{\vee })\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{\forall }\alpha \in R^{+}\}$ bezeichnet die Menge der dominanten Gewichte (${\alpha }^{\vee }$ sind die Kowurzeln), d. h. die fundamentale Weyl-Kammer.

Einleitung

Macdonald-Polynome können auch ohne Lie-Theorie verstanden werden, deshalb steht die Information zu allgemeinen Wurzelsystemen in der Klammer.

Macdonald-Polynome

Sei $\lambda$ eine Partition ($\lambda \in P^{+}$). Die Macdonald-Polynome $P_{\lambda }:=P_{\lambda }(x;q,t)\in {\mathrm{\Lambda }}_F$ (mit Wurzelsystem vom Typ $A$) lassen sich als Eigenfunktionen eines Operators oder explizit über ein inneres Produkt definieren.

Definition über den Operator

Sei $T_{q,x_i}$ der Shiftoperator

$f(x_1,\dots ,x_n)\mapsto f(x_1,\dots ,x_{i-1},q{x}_i,x_{i+1},\dots ,x_n)$,

dann sind die Macdonald-Polynome $P_{\lambda }$ die Eigenfunktionen des Operators $D:{\mathrm{\Lambda }}_{n,F}\to {\mathrm{\Lambda }}_{n,F}$

$D=\sum _{i=1}^n\prod _{i\ne j}\frac{(t{x}_i-x_j)}{(x_i-x_j)}{T}_{q,x_i}$

mit Eigenwerten $\sum _{i=1}^n{q}^{{\lambda }_i}{t}^{n-i}.$

Definition als explizite Polynome

Sei $\lambda \in P_{+}$ eine Partition, dann sind die dazugehörigen Macdonald-Polynome $P_{\lambda }$ die eindeutigen symmetrischen Funktionen, welche folgende zwei Bedingungen erfüllen

1. $P_{\lambda }=m_{\lambda }+\sum _{\mu \prec \lambda }{u}_{\lambda \mu }{m}_{\mu },\text{mit }{u}_{\lambda \mu }\in F$.
2. $⟨P_{\lambda },P_{\mu }{⟩}_{(q,t)}=0,\text{falls }\mu \ne \lambda$

wobei das Skalarprodukt wie folgt definiert ist

$⟨p_{\lambda },p_{\mu }{⟩}_{(q,t)}={\delta }_{\lambda \mu }{z}_{\lambda }(q,t)={\delta }_{\lambda \mu }(\prod _{i\ge 1}{i}^{m_i}(m_i!))\prod _{i=1}^{l(\lambda )}\frac{1-q^{{\lambda }_i}}{1-t^{{\lambda }_i}}$

wobei $z_{\lambda }(q,t)$ das $q,t$-Analogon des Hall-Skalarproduktes bezeichnet

$z_{\lambda }(q,t)=z_{\lambda }\prod _{i=1}^{l(\lambda )}\frac{1-q^{{\lambda }_i}}{1-t^{{\lambda }_i}}$

mit $z_{\lambda }=\prod _{i\ge 1}{i}^{m_i}(m_i!)$ für $\lambda =1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots$.

Eigenschaften

Dualität

Definiere $Q_{\lambda }=\frac{P_{\lambda }}{⟨P_{\lambda },P_{\mu }⟩}$ und den Automorphismus ${\omega }_{q,t}:{\mathrm{\Lambda }}_F\to {\mathrm{\Lambda }}_F$

${\omega }_{q,t}(p_r)=(-1{)}^{r-1}\frac{1-q^r}{1-t^r}{p}_r$,

sei $\lambda$ eine Partition und ${\lambda }^{\prime }$ die konjugierte Partition (d. h. im Young-Tableau werden Zeilen mit Spalten vertauscht), dann gilt

${\omega }_{q,t}{P}_{\lambda }(q,t)=Q_{{\lambda }^{\prime }}(t,q)$

oder äquivalent

${\omega }_{q,t}{Q}_{\lambda }(q,t)=P_{{\lambda }^{\prime }}(t,q).$

Beispiele

• $P_{\lambda }(x;q,q)$ sind die Schur-Funktionen.
• $P_{\lambda }(x;0,t)$ sind die Hall-Littlewood-Polynome.
• $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to 1}{P}_{\lambda }(x;t^{\alpha },t)$ sind die Jack-Symmetrischen-Funktionen.
• $P_{\lambda }(x;q,1)=m_{\lambda }$ (monomial-symmetrischen Funktionen).
• $P_{\lambda }(x;1,t)=e_{\lambda }$ (elementar-symmetrischen Funktionen).

Literatur

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