Langlands-Dual

In der Mathematik ist das Langlands-Dual einer Gruppe in Zusammenhang mit dem Langlands-Programm, einer Reihe von weitreichenden Vermutungen, die die Zahlentheorie und die Darstellungstheorie von Gruppen miteinander verknüpfen, von Bedeutung.

Definition

Sei $G$ eine spaltbare reduktive Gruppe über einem globalen Körper $F$. Das Langlands-Dual $\hat{G}$ ist die spaltbare reduktive Gruppe, deren Gewichte und Wurzeln die Kogewichte und Kowurzeln von $G$ sind.

Langlands-Dual halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen

Sei $G$ eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$. Sei $\hat{G}$ das Langlands-Dual mit Lie-Algebra $\widehat{𝔤}$.

Dann ist das Dynkin-Diagramm von $\widehat{𝔤}$ dual zum Dynkin-Diagramm von $𝔤$. (Das Dynkin-Diagramm von $B_n$ ist dual zum Dynkin-Diagramm von $C_n$ und umgekehrt. Alle anderen Dynkin-Diagramme sind zu sich selbst dual.)

Für halbeinfache Lie-Gruppen $G_1,G_2$ ist die Lie-Algebra von $\widehat{G_1\times G_2}$ isomorph zu ${\widehat{𝔤}}_1\oplus {\widehat{𝔤}}_2$.

Weiterhin ist das Zentrum von $\hat{G}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von $G$ und umgekehrt.

Beispiele

• Das Langlands-Dual von $S{L}_n$ ist $PG{L}_n$.
• Das Langlands-Dual von $S{O}_{2n+1}$ ist $S{p}_{2n}$ und umgekehrt.
• Das Langlands-Dual von $Spi{n}_{2n}$ ist $S{O}_{2n}/\{\pm 1\}$.
• Für $G\in \{G{L}_n,S{O}_{2n},E_6,E_7,E_8,F_4,G_2\}$ ist $\hat{G}=G$.

Motivation

Sei $A$ der Adelering zu $F$. Das Ziel des Langlands-Programms ist es, die Darstellung von $G(A)$ auf $L^2(G(F)\mathrm{\setminus }G(A),ℂ)$ in durch Galois-Darstellungen nach $\hat{G}$ parametrisierte Summanden zu zerlegen.

Literatur

• J. W. Cogdell: Dual groups and Langlands functoriality in An introduction to the Langlands program, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-0-8176-8226-2