Gewicht (Darstellung)

In der Darstellungstheorie der Lie-Algebren, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Gewichte gewisse lineare Abbildungen. Sie sind unter anderem deshalb von Bedeutung, weil Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert werden.

Definition

Sei $𝔤$ eine Lie-Algebra, $𝔥$ eine Cartan-Unteralgebra und $\pi :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$ eine Darstellung. Eine lineare Abbildung

$\lambda :𝔥\to ℂ$

heißt Gewicht von $\pi$, wenn der Gewichtsraum

$V_{\lambda }=\{v\in V:\pi (h)v=\lambda (h)v\mathrm{\forall }h\in 𝔥\}$

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Entsprechend ist ein Gewicht für eine Darstellung $\rho :G\to GL(V)$ einer Lie-Gruppe $G$ mit maximalem Torus $T$ ein Homomorphismus $\lambda :T\to {ℂ}^{*}$, so dass der Gewichtsraum

$V_{\lambda }=\{v\in V:\rho (h)v=\lambda (h)v\mathrm{\forall }h\in T\}$

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

Sei $𝔤=𝔤𝔩(n,ℂ)$, $𝔥$ die Unteralgebra der Diagonalmatrizen und $\pi$ die definierende Darstellung von $𝔤𝔩(n,ℂ)$. Dann gibt es $n$ Gewichte von $\pi$, nämlich die linearen Abbildungen

${\lambda }_i:𝔥\to ℂ,{\lambda }_i\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \dots & 0\\ 0& a_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_n\end{array}\right)=a_i$

für $i=1,\dots ,n$.

Literatur

• James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. 3rd printing, rev. Graduate Texts in Mathematics 9. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980.