L2-Homologie

In der Mathematik ist $L^2$-Homologie eine Homologietheorie für CW-Komplexe (insbesondere Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten) mit freien Gruppenwirkungen.

Mit ihrer Hilfe werden $L^2$-Invarianten wie L²-Betti-Zahlen und Novikov-Shubin-Invarianten von Simplizialkomplexen und glatten Mannigfaltigkeiten definiert.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $X$ ein CW-Komplex von endlichem Typ mit einer freien, zellulären Wirkung der Gruppe $G$.

Sei $C_{*}(X)$ der zelluläre Kettenkomplex mit der Wirkung von $G$ und sei $l^2(G)$ der Hilbert-Modul, den man als Vervollständigung des Gruppenrings $ℂ[G]$ bezüglich des Skalarprodukts $⟨\sum _{g\in G}{a}_{g}g,\sum _{g\in G}{b}_{g}g⟩=\sum _{g\in G}\overline{a_g}{b}_g$ erhält. Wir definieren den $l^2$-Kettenkomplex als

$C_{*}^{(2)}(X):=l^2(G){\otimes }_{ℂ[G]}{C}_{*}(X)$.

Der Rand-Operator ${\partial }_{*}:C_{*}(X)\to C_{*-1}(X)$ induziert einen Rand-Operator

$\underset{*}{\overset{(2)}{\partial }}:C_{*}^{(2)}(X)\to C_{*-1}^{(2)}(X)$.

Die $l^2$-Homologie ist dann definiert als

$H_{*}^{(2)}(X):=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}(\underset{*}{\overset{(2)}{\partial }})/\overline{\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{d}(\underset{*+1}{\overset{(2)}{\partial }})}$.

Sie ist ein Hilbert-$G$-Modul.

L²-Betti-Zahlen

Die $p$-te $L^2$-Betti-Zahl ist durch

$b_p^{(2)}(X):={\dim }_{𝒩(G)}{H}_p^{(2)}(X)$

definiert. Hierbei bezeichnet ${\dim }_{𝒩(G)}$ die von-Neumann-Dimension des Hilbert-$𝒩(G)$-Moduls $H_p^{(2)}(X)$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).