Hilbert-Modul

In der Mathematik sind Hilbert-Moduln eine Verallgemeinerung von Gruppenringen. Eine weitere Verallgemeinerung sind Hilbert-C*-Moduln.

Definitionen

Für eine abzählbare Gruppe $G$ mit Gruppenring $ℂ G$ bezeichnet $l^{2} G$ die Vervollständigung von $ℂ G$ bzgl. des Skalarprodukts

⟨ \sum_{g \in G} a_{g} g, \sum_{g \in G} b_{g} g ⟩ = \sum_{g \in G} \overline{a_{g}} b_{g}

.

$l^{2} G$ ist ein Hilbert-Raum mit einer $G$ -Wirkung.

Ein Hilbert- $G$ -Modul ist ein komplexer Hilbert-Raum $V$ mit einer $C$ -linearen isometrischen $G$ -äquivarianten Einbettung

V \to (l^{2} G)^{n}

für ein $n \in ℕ$ .

Ein Morphismus von Hilbert- $G$ -Moduln $f : V \to W$ ist eine $G$ -äquivariante beschränkte $ℂ$ -lineare Abbildung.

W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).