Kozykel-Starrheit

In der Mathematik ist Starrheit von Kozykeln oder der Starrheitssatz von Zimmer (auch Superstarrheitssatz von Zimmer) eine Verallgemeinerung des Superstarrheitssatzes von Margulis. Er besagt im Wesentlichen, dass orbit-äquivalente Wirkungen (a priori unterschiedlicher Gruppen) konjugiert zueinander sind. Es gibt eine Reihe von Variationen des Starrheitssatzes von Zimmer.

Kozykel und Gruppenwirkungen

Sei $\sigma :G\times M\to M$ eine Wirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Kozykel mit Werten in $H$ ist eine messbare Abbildung

$c:G\times X\to H$

mit

$c(g_1{g}_2,x)=c(g_1,\sigma (g_2,x))c(g_2,x)$

für $\mu$-fast alle $x\in M$ und alle $g_1,g_2\in G$.

Zum Beispiel ist $c(g,x):=\rho (g)$ für eine Darstellung $\rho :G\to H$ ein Kozykel. Ein Kozykel, der fast überall mit einer Darstellung $\rho$ übereinstimmt, heißt $\rho$-konstant.

Zwei Kozykel $c_1,c_2$ heißen kohomolog, wenn es eine Abbildung $\varphi :M\to H$ gibt mit

$c_2(g,x)=\varphi (gx{)}^{-1}{c}_1(g,x)\varphi (x)$

für $\mu$-fast alle $x\in M$.

Einem Kozykel mit Werten in $H$ entspricht eine Wirkung von $G$ auf $X\times H$ durch

$g(x,h)=(gx,c(g,x)h)$,

die mit der Rechtswirkung von $H$ kommutiert.

Viele Probleme in der Theorie dynamischer Systeme können als Frage über Kohomologie von Kozykeln formuliert werden. Wenn die Wirkung von $G$ auf $M$ die Maßklasse erhält, dann definiert die Radon-Nikodym-Ableitung einen Kozykel mit Werten in ${ℝ}_{+}$. Für eine differenzierbare Wirkung auf einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Lebesgue-messbaren Trivialisierung $TM\simeq M\times {ℝ}^n$ ist $c(g,x):=D_{x}g$ ein Kozykel mit Werten in $H=GL(n,ℝ)$. (Die Kozykel-Bedingung entspricht der Kettenregel.) Dies funktioniert allgemeiner für lineare Wirkungen auf Vektorbündeln mit messbarer Trivialisierung.

Superstarrheit für Kozykel

Sei $G$ eine einfach zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe, deren einfache Faktoren $G_i$ alle Rang $r{k}_{ℝ}(G_i)ge2$ haben. $G$ wirke maßerhaltend und ergodisch auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(X,\mu )$. Sei $H$ eine reelle algebraische Gruppe und $c:G\times X\to H$ ein $G$-integrabler Kozykel, d. h. für jede kompakte Teilmenge $K\subset G$ ist die Abbildung $x\mapsto su{p}_{g\in K}{\log }^{+}\Vert c(g,x)\Vert$ in $L^1(X,\mu )$.

Dann gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus $\rho :G\to H$, eine $\rho (G)$ zentralisierende kompakte Unter-Lie-Gruppe $K\subset G$, und einen Kozykel $c_K:G\times X\to K$ so, dass $c$ kohomolog zu $\rho \cdot c_K$ ist.

Literatur

• R. Zimmer: Ergodic Theory and Semisimple Groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984
• R. Zimmer, D. Witte Morris: Ergodic theory, groups, and geometry. Lectures presented at the NSF-CBMS regional research conferences in the mathematical sciences, University of Minnesota, Minneapolis, MN, USA, June 22–26, 1998. CBMS Regional Conference Series in Mathematics 109. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2008, ISBN 978-0-8218-0980-8/pbk

Weblinks

• R. Feres: An introduction to cocycle super-rigidity