Kegelkoordinaten

Koordinatenflächen der Kegel Koordinaten mit b=1 und c=2. Auf der roten Kugel ist r=2, auf dem blauen Kegel mit senkrechter Achse ist θ=cosh(1) und auf dem gelben Kegel, dessen Achse grün ist, ist λ² = 2/3. Der schwarze Kreis markiert einen Punkt mit den kartesischen Koordinaten (1.26, -0.78, 1.34).

Kegelkoordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt des dreidimensionalen Raums durch Angabe der Lage auf einer Kugel und zwei elliptischen Kegeln bestimmt wird, siehe Bild.

Kegelkoordinaten (Vorlage:EnSVorlage:RpVorlage:Rp) erlauben immer eine Trennung der Veränderlichen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung,Vorlage:Rp was deren Lösung vereinfacht. Kegelkoordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets kugel- oder kegelförmig sind. Zur Anpassung an diese Ränder dienen zwei Parameter, im Bild b und c, die die Form der #Koordinatenflächen beeinflussen. Kegelkoordinaten wurden auf mehrere verschiedene Arten definiert.

Sie sind nicht zu verwechseln mit den nicht-orthogonalen Polarkoordinaten gleichen Namens.

Koordinatenflächen

Die kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ berechnen sich aus den Kegelkoordinaten $r,\theta ,\lambda \in ℝ,r,\theta >0$ bei gegebenem $b,c\in ℝ$ gemäß:Vorlage:Rp

$\overrightarrow{r}:=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{r}{bc\sqrt{c^2-b^2}}\left(\begin{array}{c}\theta \lambda \sqrt{c^2-b^2}\\ c\sqrt{({\theta }^2-b^2)(b^2-{\lambda }^2)}\\ b\sqrt{(c^2-{\theta }^2)(c^2-{\lambda }^2)}\end{array}\right)$

Damit das möglich ist, muss

$0\le {\lambda }^2<b^2<{\theta }^2<c^2$

sein. Die Koordinatenflächen bestehen aus einer Kugel (r=const., rot im Bild oben),

$x^2+y^2+z^2=r^2$

einem elliptischen Kegel um die z-Achse (θ=const., blau im Bild oben),

$\frac{x^2}{{\theta }^2}+\frac{y^2}{{\theta }^2-b^2}-\frac{z^2}{c^2-{\theta }^2}=0$

und einem elliptischen Kegel um die x-Achse (λ=const., gelb im Bild oben),

$\frac{x^2}{{\lambda }^2}-\frac{y^2}{b^2-{\lambda }^2}-\frac{z^2}{c^2-{\lambda }^2}=0$

Aus obigen drei Gleichungen können die Koordinatenquadrate bestimmt werden:

$\begin{array}{cc}{r}^2=& x^2+y^2+z^2\\ {\theta }^2=& \frac{b^2(r^2-y^2)+c^2(r^2-z^2)+\sqrt{[b^2(r^2-y^2)+c^2(r^2-z^2){]}^2-(2bcrx{)}^2}}{2r^2}\\ {\lambda }^2=& \frac{b^2(r^2-y^2)+c^2(r^2-z^2)-\sqrt{[b^2(r^2-y^2)+c^2(r^2-z^2){]}^2-(2bcrx{)}^2}}{2r^2}\end{array}$

Alternative Formulierungen

Eine alternative FormulierungVorlage:Rp benutzt die Koordinaten

$\begin{array}{cc}{\xi }_1=& r,{\xi }_2=\frac{\sqrt{b^2-{\lambda }^2}}{c}=\alpha \mathrm{c}\mathrm{n}(\mu ,\alpha ),{\xi }_3=\frac{\sqrt{{\theta }^2-b^2}}{c}=\beta \mathrm{c}\mathrm{n}(\nu ,\beta )\\ x=& \frac{{\xi }_1}{\alpha }\sqrt{({\alpha }^2-{\xi }_2^2)({\alpha }^2+{\xi }_3^2)}={\xi }_1\mathrm{s}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\mathrm{d}\mathrm{n}(\nu ,\beta )\\ y=& \frac{{\xi }_1}{\beta }\sqrt{({\beta }^2+{\xi }_2^2)({\beta }^2-{\xi }_3^2)}={\xi }_1\mathrm{d}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\mathrm{s}\mathrm{n}(\nu ,\beta )\\ z=& \frac{{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3}{\alpha \beta }={\xi }_1\mathrm{c}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\mathrm{c}\mathrm{n}(\nu ,\beta )\end{array}$

mit den drei grundlegenden Jacobischen Funktionen sinus– sn, cosinus– cn bzw. delta amplitudinis dn, dem elliptischen Modul $\alpha =\sqrt{b/c}$, dem komplementären Parameter $\beta =\sqrt{1-{\alpha }^2}$ und beliebigen Variablen μ,ν∈ℝ.

Die Koordinatenflächen sind hier eine Kugel und elliptische Kegel um die x- und y-Achse:

$\begin{array}{cc}\frac{x^2+y^2+z^2}{{\xi }_1^2}=& 1\\ \frac{x^2}{{\alpha }^2-{\xi }_2^2}-\frac{y^2}{{\beta }^2+{\xi }_2^2}-\frac{z^2}{{\xi }_2^2}=& 0\\ \frac{x^2}{{\alpha }^2+{\xi }_3^2}-\frac{y^2}{{\beta }^2-{\xi }_3^2}+\frac{z^2}{{\xi }_3^2}=& 0\end{array}$

Hieraus lässt sich für die in diesem Artikel benutzte Formulierung

$\begin{array}{cc}\theta =& c\mathrm{d}\mathrm{n}(\nu ,\beta ),\lambda =b\mathrm{s}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\\ x=& r\mathrm{s}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\mathrm{d}\mathrm{n}(\nu ,\beta ),y=r\mathrm{c}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\mathrm{c}\mathrm{n}(\nu ,\beta ),z=r\mathrm{d}\mathrm{n}(\mu ,\alpha )\mathrm{s}\mathrm{n}(\nu ,\beta )\end{array}$

ableiten.

Metrische Faktoren, Weg- und Volumenelemente

Die kovarianten Basisvektoren sind mit $\overrightarrow{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{\top }}$:

${\overrightarrow{g}}_r:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\frac{1}{r}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\theta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=\left(\begin{array}{c}\frac{x}{\theta }\\ \frac{y\theta }{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{-z\theta }{c^2-{\theta }^2}\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\lambda }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \lambda }=\left(\begin{array}{c}\frac{x}{\lambda }\\ \frac{y\lambda }{{\lambda }^2-b^2}\\ \frac{-z\lambda }{c^2-{\lambda }^2}\end{array}\right)$

die, wie es sein muss, senkrecht zueinander sind, und deren Beträge die metrischen Faktoren sind:

$\begin{array}{c}{h}_r:=|{\overrightarrow{g}}_r|=1,h_{\theta }:=|{\overrightarrow{g}}_{\theta }|=r\sqrt{\frac{{\theta }^2-{\lambda }^2}{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)}},\\ h_{\lambda }:=|{\overrightarrow{g}}_{\lambda }|=r\sqrt{\frac{{\theta }^2-{\lambda }^2}{(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)}}\end{array}$

Das Orthonormalsystem ist dann

$\begin{array}{cc}{\hat{c}}_1=& \frac{1}{bc\sqrt{c^2-b^2}}\left(\begin{array}{c}\theta \lambda \sqrt{c^2-b^2}\\ c\sqrt{({\theta }^2-b^2)(b^2-{\lambda }^2)}\\ b\sqrt{(c^2-{\theta }^2)(c^2-{\lambda }^2)}\end{array}\right)/()\\ {\hat{c}}_2=& \frac{1}{bc\sqrt{(c^2-b^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}\lambda \sqrt{c^2-b^2}\sqrt{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)}\\ \theta c\sqrt{(c^2-{\theta }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\\ -\theta b\sqrt{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\lambda }^2)}\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_3=& \frac{1}{bc\sqrt{(c^2-b^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}\theta \sqrt{c^2-b^2}\sqrt{(c^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\\ -\lambda c\sqrt{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\lambda }^2)}\\ -\lambda b\sqrt{(c^2-{\theta }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\end{array}\right)\end{array}$

Das Linien- und Volumenelement lautenVorlage:Rp

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\overrightarrow{r}=& {\overrightarrow{g}}_r\mathrm{d}r+{\overrightarrow{g}}_{\theta }\mathrm{d}\theta +{\overrightarrow{g}}_{\lambda }\mathrm{d}\lambda \\ \mathrm{d}{s}^2:=& |\mathrm{d}\overrightarrow{r}{|}^2=\mathrm{d}{r}^2+\frac{r^2({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)}\mathrm{d}{\theta }^2+\frac{r^2({\theta }^2-{\lambda }^2)}{(c^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\mathrm{d}{\lambda }^2\\ \mathrm{d}V=& \frac{-r^4({\theta }^2-{\lambda }^2)}{(c^2-b^2)bcyz}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda \end{array}$

Die Basisvektoren bilden demnach ein Rechtssystem, wo das Produkt bcyz im Nenner des Volumenelements negativ ist.

Operatoren in Kegelkoordinaten

Vorlage:Hauptartikel Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren, wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.

Der Laplace-Operator ist:Vorlage:Rp

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }f=& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\dots \\ & \dots +\frac{1}{r^2({\theta }^2-{\lambda }^2)}\{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}-\theta (2{\theta }^2-b^2-c^2)\frac{\partial f}{\partial \theta }+\dots \\ & \dots +(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\lambda }^2}+\lambda (2{\lambda }^2-b^2-c^2)\frac{\partial f}{\partial \lambda }\}\end{array}$

Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in Kegelkoordinaten

Vorlage:Hauptartikel Kegelkoordinaten bieten sich bei der Lösung von Randwertaufgaben an, in denen die Ränder kugel- oder kegelförmig sind.Vorlage:Rp Die Lösung wird erleichtert, wenn eine Trennung der Variablen gelingt, was in Kegelkoordinaten immer möglich istVorlage:RpVorlage:Rp Dazu wird der SeparationsansatzVorlage:Rp

$\varphi (r,\theta ,\lambda )=R(r)\cdot \mathrm{\Theta }(\theta )\cdot \mathrm{\Lambda }(\lambda )$

in die Helmholtz-Gleichung $\mathrm{\Delta }\varphi +{\kappa }^2\varphi =0$ eingesetzt. Die Faktoren bestimmen sich dann aus den drei gewöhnlichen DifferenzialgleichungenVorlage:Rp

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}R}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial R}{\partial r}+({\kappa }^2-\frac{{\alpha }_2}{r^2})R=& 0\\ ({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\theta }^2}-\theta (2{\theta }^2-b^2-c^2)\frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta }+({\alpha }_2{\theta }^2-{\alpha }_3)\mathrm{\Theta }=& 0\\ (b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial {\lambda }^2}+\lambda (2{\lambda }^2-b^2-c^2)\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \lambda }-({\alpha }_2{\lambda }^2-{\alpha }_3)\mathrm{\Lambda }=& 0\end{array}$

Denn die Helmholtz-Gleichung lautet mit dem Ansatz:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\varphi =& \frac{{\partial }^{2}R}{\partial r^2}\mathrm{\Theta }\mathrm{\Lambda }+\frac{2}{r}\frac{\partial R}{\partial r}\mathrm{\Theta }\mathrm{\Lambda }+\dots \\ & \dots +\frac{1}{r^2({\theta }^2-{\lambda }^2)}\{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)R\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\theta }^2}\mathrm{\Lambda }-\theta (2{\theta }^2-b^2-c^2)R\frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta }\mathrm{\Lambda }+\dots \\ & \dots +(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)R\mathrm{\Theta }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial {\lambda }^2}+\lambda (2{\lambda }^2-b^2-c^2)R\mathrm{\Theta }\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \lambda }\}+\dots \\ & \dots +{\kappa }^{2}R\mathrm{\Theta }\mathrm{\Lambda }=0\end{array}$

Multiplikation mit $\frac{r^2}{R\mathrm{\Theta }\mathrm{\Lambda }}$ liefert umgestellt:

$\begin{array}{cc}& \frac{r^2}{R}\frac{{\partial }^{2}R}{\partial r^2}+\frac{2r}{R}\frac{\partial R}{\partial r}+{\kappa }^2{r}^2+\dots \\ & \dots +\frac{1}{{\theta }^2-{\lambda }^2}\{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)\frac{\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\theta }^2}}{\mathrm{\Theta }}-\theta (2{\theta }^2-b^2-c^2)\frac{\frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta }}{\mathrm{\Theta }}+\dots \\ & \dots +(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)\frac{\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial {\lambda }^2}}{\mathrm{\Lambda }}+\lambda (2{\lambda }^2-b^2-c^2)\frac{\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \lambda }}{\mathrm{\Lambda }}\}=0\end{array}$

Weil nur die Terme in der ersten Zeile vom Radius r abhängen, ergänzen sie sich in Summe zu einer Konstanten α₂:

$\frac{r^2}{R}\frac{{\partial }^{2}R}{\partial r^2}+\frac{2r}{R}\frac{\partial R}{\partial r}+{\kappa }^2{r}^2={\alpha }_2$

Diese eingesetzt erlaubt auch θ und λ zu trennen:

$\begin{array}{cc}& ({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)\frac{\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\theta }^2}}{\mathrm{\Theta }}-\theta (2{\theta }^2-b^2-c^2)\frac{\frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta }}{\mathrm{\Theta }}+{\alpha }_2{\theta }^2=\dots \\ & \dots =(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)\frac{\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial {\lambda }^2}}{\mathrm{\Lambda }}+\lambda (2{\lambda }^2-b^2-c^2)\frac{\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \lambda }}{\mathrm{\Lambda }}-{\alpha }_2{\lambda }^2\end{array}$

Weil die Summe auf der linken Seite nur von θ und die auf der rechten nur von λ abhängt, ergeben beide eine Konstante α₃, was auf die drei oben angegebenen gewöhnlichen Differenzialgleichungen zur Bestimmung der Faktoren R,Θ und Λ führt.

Die im Hauptartikel angegebene Methode zur Separation der Helmholtz-Gleichung führt mit der Stäckel-MatrixVorlage:Rp

$𝐒=\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{r^2}& 0\\ 0& \frac{{\vartheta }^2}{(c^2-{\vartheta }^2)({\vartheta }^2-b^2)}& \frac{-1}{(c^2-{\vartheta }^2)({\vartheta }^2-b^2)}\\ 0& \frac{-{\lambda }^2}{(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)}& \frac{1}{(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)}\end{array}\right)$

und den Funktionen

$f_1=r^2,f_2=\sqrt{({\theta }^2-b^2)(c^2-{\theta }^2)},f_3=\sqrt{(b^2-{\lambda }^2)(c^2-{\lambda }^2)}$

auf ein vergleichbares Ergebnis.