K-konvexe Funktion

Eine K-konvexe Funktion ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexität einer Funktion auf reell-vektorwertige Funktionen. Dazu wird die strikte Ordnung auf $ℝ$ abgeschwächt und es wird mit Halbordnungen auf ${ℝ}^m$ gearbeitet, den sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen.

Definition

Gegeben sei ein abgeschlossener, spitzer und konvexer Kegel $K\subset {ℝ}^m$ mit nichtleerem Inneren und ${\preccurlyeq }_K$ bzw. ${\prec }_K$ die von diesem Kegel induzierte Halbordnung bzw. strikte Halbordnung. Des Weiteren sei $D$ eine konvexe Teilmenge des ${ℝ}^n$. Die Funktion

$f:D\to {ℝ}^m$

heißt K-konvex auf der Menge $D$ genau dann, wenn

$f(\lambda x+(1-\lambda )y){\preccurlyeq }_K\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

gilt für alle $\lambda \in [0,1]$ und alle $x,y\in D$. Die Funktion $f$ heißt strikt K-konvex auf der Menge $D$, wenn

$f(\lambda x+(1-\lambda )y){\prec }_K\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

für alle $\lambda \in (0,1)$ und alle $x\ne y$ in $D$ gilt.

Beispiele und Eigenschaften

• Setzt man $m=1$, ist die Funktion also reellwertig, und wählt als Kegel die Menge $K=\{x\ge 0\}$, so sind die K-konvexen Funktionen genau die konvexen Funktionen. Dies liegt daran, dass die von dem Kegel induzierte Ordnung die gewöhnliche Ordnung auf den reellen Zahlen ist.
• Wählt man hingegen als Kegel die Menge $K=\{x\le 0\}$, so sind die K-konvexen Funktionen genau die konkaven Funktionen, da der Kegel die Ordnung auf den reellen Zahlen umkehrt.
• Ist der Kegel die Menge

$K=\{x\in {ℝ}^m|x_i\ge 0\text{ für alle }i=1,\dots ,n\}$, so ist die induzierte allgemeine Ungleichung das komponentenweise kleinergleich. Die K-konvexen Funktionen sind dann die Funktionen, deren Komponenten alle konvex sind.

• Affine Funktionen sind immer K-Konvex, unabhängig vom verwendeten Kegel. Dies folgt direkt aus der Linearität der Funktion und der Reflexivität der verallgemeinerten Ungleichung.
• Die Subniveaumenge einer K-konvexen Funktion ist eine konvexe Menge.
• Eine Funktion ist genau dann K-konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Der Epigraph wird in diesem Fall mittels der verallgemeinerten Ungleichung und nicht mit dem herkömmlichen kleinergleich definiert.

Alternative Charakterisierungen

Über Dualität

Die K-Konvexität einer Funktion lässt sich auch gut mittels der von dem zu $K$ dualen Kegel $K^{*}$ induzierten Halbordnung beschreiben. Eine Funktion ist genau dann (strikt) K-konvex, wenn für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor $v$ mit $0{\preccurlyeq }_{K^{*}}v$ gilt, dass $v^{T}f$ (strikt) konvex im herkömmlichen Sinne ist.

Für differenzierbare Funktionen

Ist $f$ eine differenzierbare Funktion, so ist diese genau dann K-konvex, wenn

$f(x)+Df(x)(y-x){\preccurlyeq }_{K}f(y)$ für alle $x,y$. Hierbei ist $D$ die Jacobi-Matrix.

Verkettungen von K-konvexen Funktionen

Die Kompositionen von K-konvexen Funktionen sind unter gewissen Umständen wieder konvex.

• Ist $g:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ K-konvex und $h:{ℝ}^m\to ℝ$ konvex und ist die erweiterte Funktion $\tilde{h}$ K-monoton wachsend, so ist $h(g(x))$ konvex. Insbesondere müssen die beiden Kegel, welche die K-Konvexität und die K-Monotonie definieren, übereinstimmen.

Matrix-konvexe Funktionen

Betrachtet man Abbildungen vom ${ℝ}^n$ in den Raum der symmetrischen reellen Matrizen $S^n$, versehen mit der Loewner-Halbordnung ${\succcurlyeq }_{S_{+}^n}$, so heißen die entsprechenden K-konvexen Funktionen auch Matrix-konvexe Funktionen. Eine äquivalente Charakterisierung der Matrix-Konvexität ist, dass die Funktion $g(x)=z^{T}f(x)z$ konvex ist für alle $z\in {ℝ}^n$ genau dann, wenn $f(x)$ Matrix-konvex ist.

Beispielsweise ist die Funktion $f:{ℝ}^{n\times m}\to S^n$, definiert durch $f(X)=X\cdot X^T$, matrix-konvex, weil $z^{T}XXz=\Vert X^{T}z{\Vert }_2^2$ konvex ist wegen der Konvexität der Norm.

Verwendung

K-konvexe Funktionen werden beispielsweise bei der Formulierung von konischen Programmen oder Verallgemeinerungen der Lagrange-Dualität verwendet.

Verallgemeinerungen

Teilweise werden auch Abbildungen $f:V_1\mapsto V_2$ zwischen zwei reellen Vektorräumen betrachtet und $V_2$ nur mit einem Ordnungskegel $K$ versehen, nicht mit einer verallgemeinerten Ungleichung. An die Abbildung wird die Forderung

$\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)-f(\lambda x+(1-\lambda )y)\in K$

für alle $\lambda \in [0,1]$ und $x,y$ aus der konvexen Menge $M$ gestellt. Dann wird die Abbildung $f$ wieder eine konvexe Abbildung genannt.

Literatur

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