K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom ${ℝ}^n$ nach $ℝ$ abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf ${ℝ}^n$ verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Gegeben sei eine Funktion $f:D\to ℝ$ mit $D\subset {ℝ}^n$ und ein echter Kegel $K$ im ${ℝ}^n$ sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung ${\preccurlyeq }_K$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung ${\prec }_K$. Dann heißt die Funktion

• K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x{\preccurlyeq }_{K}y$ gilt, dass $f(x)\le f(y)$ ist.
• K-monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x{\preccurlyeq }_{K}y$ gilt, dass $f(x)\ge f(y)$ ist.
• strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D,x\ne y$ mit $x{\preccurlyeq }_{K}y$ gilt, dass $f(x)<f(y)$ ist.
• strikt K-monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D,x\ne y$ mit $x{\preccurlyeq }_{K}y$ gilt, dass $f(x)>f(y)$ ist.
• strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
• K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele

• Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K={ℝ}_{+}=[0,\mathrm{\infty })$.
• Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K={ℝ}_{-}=(-\mathrm{\infty },0]$. Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
• Sind die Funktionen $f_i(x_i)$ monoton wachsend, so ist die Funktion

$f(x)=f_1(x_1)+\dots +f_n(x_n)$

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten ${ℝ}^n$. Dies folgt direkt aus der Monotonie der $f_i$.

Eigenschaften

Sei $h:{ℝ}^n\supset D\to R$ differenzierbar und $D$ eine konvexe Menge sowie $K^D$ der duale Kegel des Kegels $K$. Dann gilt:

• $h$ ist K-monoton wachsend auf $D$ genau dann, wenn $\mathrm{\nabla }h(x){\succcurlyeq }_{K^D}0$ für alle $x\in D$.
• $h$ ist K-monoton fallend auf $D$ genau dann, wenn $\mathrm{\nabla }h(x){\preccurlyeq }_{K^D}0$ für alle $x\in D$.
• Wenn $\mathrm{\nabla }h(x){\succ }_{K^D}0$ für alle $x\in D$ gilt, dann ist $h$ strikt K-monoton wachsend auf $D$.
• Wenn $\mathrm{\nabla }h(x){\prec }_{K^D}0$ für alle $x\in D$ gilt, dann ist $h$ strikt K-monoton fallend auf $D$.

Matrix-monotone Funktionen

Wählt man als Vektorraum anstelle des ${ℝ}^n$ den $S^n$ (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen $h:S^n\to ℝ$ Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen $S_{+}^n$, was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante $\det :S^n\to ℝ$ strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel $S_{++}^n$ der positiv definiten Matrizen.

Verwendung

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.