Jordan-Chevalley-Zerlegung

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen. Benannt ist sie nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley.

Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus $x:V\to V$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe $x=x_s+x_n$, worin $x_s$ ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und $x_n$ ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt $x_s{x}_n=x_n{x}_s$.

Ist allgemeiner $L$ eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und $x\in L$, so bezeichnet man $x=x_s+x_n$ als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus $\mathrm{a}\mathrm{d}(x_s)$ ist halbeinfach, der Endomorphismus $\mathrm{a}\mathrm{d}(x_n)$ ist nilpotent, und es gilt $[x_s,x_n]=0$. Darin wird für jedes $y\in L$ die Abbildung $\mathrm{a}\mathrm{d}(y)$ folgendermaßen definiert:

$\mathrm{a}\mathrm{d}(y):L\to L,z\mapsto [y,z]$,

welches ein Endomorphismus von $L$ ist.

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall $L=\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)$, versehen mit der Lie-Klammer $[f,g]:=fg-gf$, überein.

Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar. Diese erhält man leicht aus der oben angegebenen additiven Zerlegung:

$x=x_s+x_n=x_s\cdot (1+x_s^{-1}{x}_n)$.

Man beachte, dass $x_s$ invertierbar ist, denn $x$ kann als invertierbarer Endomorphismus nicht den Eigenwert 0 haben, und dass $x_s^{-1}{x}_n$ wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren ebenfalls nilpotent und $1+x_s^{-1}{x}_n$ damit unipotent ist.

Siehe auch

• Jordansche Normalform

Literatur

• Serge Lang, Algebra (3 ed), Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-55540-9. Chap.XIV.2, p.559.

Weblinks

• Jordan-Chevalley-Zerlegung und Cartan-Kriterium (PDF-Datei; 178 kB), Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022