John-Nirenberg-Ungleichung

Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine zum BMO-Raum gehörende Funktion von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.

Allgemeine Bemerkungen

Es sei $Q_0$ ein achsenparalleler Würfel im ${ℝ}^N$. Für eine integrierbare Funktion $\mu :Q_0\to {ℝ}^N$ setzt man

$[\mu {]}_{*}=[\mu {]}_{*,Q_0}:=\underset{Q\subset Q_0}{\sup }\underset{Q}{\overset{}{\int }}|\mu (x)-{\mu }_Q|\mathrm{d}x$,

wobei das Supremum über alle achsenparallele Würfel $Q\subset Q_0$ gebildet wird und

${\mu }_Q:=\frac{1}{|Q|}\underset{Q}{\int }\mu (x)\mathrm{d}x$

für den Durchschnittswert von $\mu$ auf dem Würfel $Q$ steht.

Dann ist $[\cdot {]}_{*}=[\cdot {]}_{*,Q_0}$ eine Halbnorm, die sogenannte BMO-Halbnorm, und man bezeichnet mit $BMO(Q_0,{ℝ}^N)$ den Raum aller $\mu \in L^1(Q_0,{ℝ}^N)$ mit $[\mu {]}_{*}<\mathrm{\infty }$. Außerdem definiert man für $\mu \in BMO(Q_0,{ℝ}^N),\sigma >0$ und $Q\subset Q_0$ die Teilmenge

${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma ,Q}(\mu ):=\{x\in Q:\mid \mu (x)-{\mu }_Q\mid >\sigma \}$

aller $x\in Q$, deren Funktionswert $\mu (x)$ um mehr als $\sigma$ vom Mittelwert der Funktion abweicht.

John-Nirenberg I

Es gibt zwei positive Konstanten $\alpha$ und $A$, welche nur von der Dimension $N$ abhängen, sodass für alle $\mu \in$ $BMO(Q_0,{ℝ}^N)$ und $\sigma >0$ gilt:

$|{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma ,Q_0}(\mu )|⩽A\exp \left(\frac{-\alpha \sigma }{[\mu {]}_{*,Q_0}}\right)\left|Q_0\right|$

Bemerkung

Als direkte Folgerung ergibt sich nun eine $L^p$-Abschätzung für Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation:

Ist $\mu \in BMO(Q_0,{ℝ}^N)$, so gilt $\mu \in L^p(Q_0,{ℝ}^N)$ für alle $p\ge 1$ und für jeden achsenparallelen Würfel $Q\subset Q_0$ erhält man:

$\underset{Q}{\overset{}{\int }}\mid \mu -{\mu }_Q{\mid }^{p}dx⩽C[\mu {]}_{*,Q}^p$

mit einer Konstante $C=C(p,\alpha ,A)$.

John-Nirenberg II

Vorlage:Allgemeinverständlichkeit Angenommen für $\mu \in L^1(Q_0,{ℝ}^N)$ existieren Konstanten $k>0$ und $p>1$, sodass jede Zerlegung ${\left(Q_j\right)}_{j\in \mathbb{N}}$ von $Q_0$ im Würfel $Q_j$ mit paarweise disjunktem Inneren (also ${\dot{Q}}_j\cap {\dot{Q}}_i=\varnothing$ mit $i\ne j$) gilt:

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\left|Q_j\right|{\left(\underset{Q_j}{\overset{}{\int }}|\mu -{\mu }_{Q_j}|dx\right)}^p⩽k^p$

Man bezeichne nun mit $[\mu {]}_{p,Q_0}$ die kleinste Konstante, für welche diese Eigenschaft erfüllt ist. Dann gilt mit einer Konstante $A=A(\mu ,p)$:

$|{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma ,Q_0}(\mu )|=\left|\{x\in Q_0:|\mu (x)-{\mu }_{Q_0}|>\sigma \}\right|⩽A{\left(\frac{[\mu {]}_{p,Q_0}}{\sigma }\right)}^p$

Literatur

• Kinnunen, J; Myyryläinen, K; Yang, D: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. Mathematische Annalen, Springer Verlag, vol. 387, Seite 1125–1162, 2023
• Chul Pak, H: On the John–Nirenberg inequality. Journal of Inequalities and Applications, Article 130, 2020