Iwahori-Hecke-Algebra

Iwahori-Hecke-Algebren sind in der Mathematik unter anderem in der geometrischen Darstellungstheorie (etwa bei der Definition des Kazhdan-Lusztig-Polynoms) und in der Knotentheorie (bei der Definition des Jones-Polynoms) von Bedeutung.

Iwahori-Algebren kommen klassisch als Endomorphismenringe in der Darstellungstheorie endlicher Chevalley-Gruppen vor, können aber für alle Coxeter-Gruppen definiert werden. Ihre komplexen Darstellungen hängen eng mit den Darstellungen der assoziierten Coxeter-Gruppen zusammen.

Konstruktion

Sei $(W,S)$ ein Coxeter-System mit Längenfunktion $l$ und $ℒ=\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$ der Ring der Laurent-Polynome.

Die Iwahori-Hecke-Algebra ist die assoziative $ℒ$-Algebra mit Erzeugern $H_s$ für alle $s\in S$ und Relationen

$H_s^2=1+(v^{-1}-v)H_s$

$H_s{H}_t\dots H_s=H_t{H}_s\dots H_t$ für $st\dots s=ts\dots t$

$H_s{H}_t{H}_s\dots H_t=H_t{H}_s{H}_t\dots H_s$ für $sts\dots t=tst\dots s$

Für eine reduzierte Zerlegung $w=s_1\dots s_n$ bezeichne $H_w=H_{s_1}\dots H_{s_n}$. Dann hat man die folgenden Eigenschaften.

Aus $l(w_1)+l(w_2)=l(w_1{w}_2)$ folgt $H_{w_1{w}_2}=H_{w_1}{H}_{w_2}$.

Die $H_s$ sind invertierbar: $H_s^{-1}=H_s+(v-v^{-1})$

Es gibt auf $\mathscr{H}$ eine eindeutige Involution $H\to \bar{H}$ mit $\bar{v}=v^{-1}$ und $\overline{H_s}=(H_{s^{-1}}{)}^{-1}$ für $s\in S$.

Literatur

• Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).

Weblinks

• G. Hiss: Iwahori-Hecke algebras and Kazhdan-Lusztig polynomials
• W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kipp-Moduln