Kazhdan-Lusztig-Polynom

Kazhdan-Lusztig-Polynome sind ein Konzept aus der Theorie der Coxeter-Systeme, das (angewandt auf Weyl-Gruppen halbeinfacher Lie-Gruppen) zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie hat. Je zwei Elementen $y,w$ aus der Coxeter-Gruppe wird ein Polynom $P_{yw}(q)$ zugeordnet.

Definition

Sei $(W,S)$ ein Coxeter-System mit Längenfunktion $l$ und Bruhat-Ordnung $\le$, und sei $ℒ=\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$ der Ring der Laurent-Polynome. Die Iwahori-Hecke-Algebra $\mathscr{H}$ ist eine assoziative $ℒ$-Algebra mit Erzeugern $H_s,s\in S$ und gewissen Relationen. Es gibt auf $\mathscr{H}$ eine eindeutige Involution $H\to \bar{H}$ mit $\bar{v}=v^{-1}$ und $\overline{H_s}=(H_{s^{-1}}{)}^{-1}$ für $s\in S$.

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass es zu jedem $x\in W$ ein eindeutiges, bzgl. der Involution selbstduales ${\underset{\_}{H}}_x\in \mathscr{H}$ mit

${\underset{\_}{H}}_x\in H_x+\sum _{y\in Y}v\mathbb{Z}\left[v\right]H_y$

gibt.

Insbesondere kann man Elemente $P_{yw}$ für $y\le w$ als Koeffizienten

${\underset{\_}{H}}_w=v^{-l(w)}\sum _{y\le w}{P}_{yw}{H}_y$

definieren. Falls $y\le w$ nicht erfüllt ist, definiert man $P_{yw}=0$.

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass die $P_{yw}$ Polynome sind. Sie werden heute als Kazhdan-Lusztig-Polynome bezeichnet.

Die ${\underset{\_}{H}}_w$ bilden eine neue Basis der Iwahori-Hecke-Algebra, die als Kazhdan-Lusztig-Basis bezeichnet wird. Die Kazhdan-Lusztig-Polynome beschreiben also die Transformation zwischen den Basen $H_y$ und ${\underset{\_}{H}}_w$. Kazhdan und Lusztig gaben eine rekursive Prozedur zur Berechnung der Polynome.

Interpretation durch Schnittkohomologie

Sei nun $W$ die Weyl-Gruppe einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$.

Eine Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ zerlegt sich in verschiedene Schubert-Zellen ${\mathrm{\Omega }}_w$, die durch die Elemente $w\in W$ der Weyl-Gruppe indiziert werden.

Für die Schnittkohomologie von Schubert-Zellen ${\mathrm{\Omega }}_v$ gilt

$P_{uv}(q)=\sum _{i\ge 0}{q}^i\dim (I{H}^{2i}(\overline{{\mathrm{\Omega }}_v},ℂ{)}_{{\mathrm{\Omega }}_u})$.

Insbesondere sind die Koeffizienten von $P_{uv}$ nichtnegativ.

Literatur

• Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).
• David Kazhdan, George Lusztig: Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53, 165–184 (1979).
• D. Kazhdan, G. Lusztig: Schubert varieties and Poincaré duality. Geometry of the Laplace operator, Honolulu/Hawaii 1979, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 36, 185–203 (1980).

Weblinks

• Q. Chu: Hecke Algebras and the Kazhdan-Lusztig Polynomials
• W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kippmoduln
• N. Libedinsky: Gentle introduction to Soergel bimodules