Inverse Betaverteilung

Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern $\alpha$ und $\beta$. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

$f(x)=\frac{x^{\alpha -1}(1+x{)}^{-\alpha -\beta }}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$.

Dabei ist $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ die Betafunktion.

Ein Zufallsvariable $X$, die einer inversen Betaverteilung folgt hat den Erwartungswert

$\mathrm{E}(X)=\frac{\alpha }{\beta -1}\text{, falls }\beta >1$

den Modus

$\mathrm{Mod}(X)=\frac{\alpha -1}{\beta +1}\text{, falls }\alpha \ge 1\text{, sonst }\mathrm{Mod}(X)=0$

und die Varianz

$\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1{)}^2}\text{, falls }\beta >2$.

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter $ϵ$ der Gammaverteilung $𝒢(a,ϵ)$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung $𝒢(b,1)$ verteilt ist, dann folgt die hervorgehende Zufallsvariable einer inversen Betaverteilung $ℐ𝓃𝓋ℬ(a,b)$.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung $\mathrm{Gamma-Gamma}(a,b=1,d)$ entspricht einer inversen Betaverteilung $ℐ𝓃𝓋ℬ(\alpha =d,\beta =a)$.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld