Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen $f_i$) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition

Gegeben seien Abbildungen $f_i:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_i$ und eine Familie von Messräumen $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ für eine nichtleere Indexmenge $I$. Dann heißt die σ-Algebra

$ℐ(f_i,i\in I):=\sigma (\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}({𝒜}_i))$

auf $\mathrm{\Omega }$ die Initial-σ-Algebra der Abbildungen $(f_i{)}_{i\in I}$ oder die von den Abbildungen $(f_i{)}_{i\in I}$ erzeugte σ-Algebra, wobei $\sigma (\cdot )$ den σ-Operator darstellt.

Eigenschaften

• Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf $\mathrm{\Omega }$, bezüglich derer alle Funktionen $(f_i{)}_{i\in I}$ messbar sind.
• Sind ${ℰ}_i$ Erzeuger von ${𝒜}_i$, so ist $\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}({ℰ}_i)$ ein Erzeuger von $ℐ(f_i,i\in I)$.

Beispiele

• Für eine einzelne Abbildung $f:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ in einen Messraum $({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{𝒜}^{\prime })$ ist bereits $f^{-1}({𝒜}^{\prime })$ eine σ-Algebra, es gilt also $ℐ(f)=f^{-1}({𝒜}^{\prime })$. Ist beispielsweise $f$ eine konstante Funktion, so ist $ℐ(f)$ die triviale σ-Algebra $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$. Für die Indikatorfunktion ${\chi }_A$ einer Teilmenge $A\subset \mathrm{\Omega }$ gilt $ℐ({\chi }_A)=\{\mathrm{\varnothing },A,A^{𝖼},\mathrm{\Omega }\}$.
• Ist $X\subset Y$ und $(Y,𝒜)$ ein Messraum sowie $i:X\to Y,i(x)=x$ die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: $ℐ(i)=𝒜{|}_X$.
• Sei $\mathrm{\Omega }=\prod _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i$ das kartesische Produkt von Mengen ${\mathrm{\Omega }}_i$ für eine nichtleere Indexmenge $I$ und seien $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ Messräume. Wählt man als Abbildungen ${\pi }_i:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_i,{\pi }_i(\omega )={\omega }_i$ die Projektionen auf die $i$-te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der ${𝒜}_i$:

$ℐ({\pi }_i,i\in I)=\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i$.

Verwendung

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur

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