Impulsabbildung

Die Impulsabbildung ist ein Konzept der mathematischen Physik, mit dem das Noether-Theorem über den Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen theoretisch erklärt werden kann.

Konstruktion der Impulsabbildung

Sei $(M,\omega )$ eine symplektische Mannigfaltigkeit. Eine Lie-Gruppe $G$ wirke durch Symplektomorphismen auf $M$. Die zur Lie-Gruppe zugehörige Lie-Algebra, aus der die Gruppe durch Exponentierung hervorgeht, sei $𝔤$. Für $X\in 𝔤$ sei ${\xi }_X$ das entsprechende Vektorfeld auf $M$ und $\iota$ bezeichne das innere Produkt auf $M$.

Weil $G$ durch Symplektomorphismen wirkt, ist die Lie-Ableitung ${ℒ}_{{\xi }_X}\omega =0$, mit der Cartan-Formel folgt $\mathrm{d}{\iota }_{{\xi }_X}\omega =0$, das Vektorfeld ist also symplektisch. Wenn die geschlossene Differentialform ${\mathrm{\iota }}_{{\xi }_X}\omega$ exakt ist, ist das Vektorfeld zusätzlich hamiltonsch. Dies ist zum Beispiel immer dann der Fall, wenn die erste De-Rham-Kohomologie $H^1(M;ℝ)=0$ ist.

In diesem Fall gibt es eine Funktion ${\mu }^X:M\to ℝ$ mit $\mathrm{d}{\mu }^X={\iota }_{{\xi }_X}$, und man erhält insgesamt eine Abbildung $\mu :M\to {𝔤}^{*}$ mit $\mu (x)(X)={\mu }^X(x)$. Diese Abbildung $\mu$ wird als Impulsabbildung bezeichnet.

Eigenschaften

• Für den symplektischen Gradienten $\mathrm{sgrad}$ und jedes $X\in {𝔤}^{*}$ gilt $\mathrm{sgrad}({\mu }^X)(x)={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\exp (tX)\cdot x)|}_{t=0}$ für alle $x\in M$.
• Für alle $g\in G,x\in X$ gilt $\mu (g\cdot x)=\mathrm{Ad}(g^{-1}{)}^{*}\circ \mu (x)$.

Noether-Theorem

Wenn eine Lie-Gruppe $G$ durch Symplektomorphismen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ wirkt und $H$ eine $G$-invariante Hamilton-Funktion ist, dann ist $\mu$ konstant entlang der Integralkurven von $\mathrm{sgrad}(H)$ (also der Lösungskurven des Hamilton-Systems). Tatsächlich gilt für die Poisson-Klammer mit der Hamilton-Funktion

$\{{\mu }^X,H\}=\omega (X_H,X)={\iota }_X\mathrm{d}H=0$

für $X\in {𝔤}^{*}$, woraus wegen der Gleichung ${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mu }^X({\mathrm{\Phi }}_H(t,x))|}_{t=0}=\{{\mu }^X,H\}$ für den hamiltonschen Fluss ${\mathrm{\Phi }}_H$ die Invarianz von ${\mu }^X$ folgt.

Literatur

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• Heckman: Lecture notes on the geometry of the momentum map