Huber-Paar

Ein Huber-Paar (auch affinoider Ring) ist ein spezielles Paar topologischer Ringe. Huber-Paare sind der Grundbaustein der von Roland Huber eingeführten adischen Räume, so wie kommutative Ringe die Grundbausteine von Schemata sind.

Definition

Ein Huber-Paar $(A,A^{+})$ besteht aus einem Huber-Ring $A$ und einem offenen und in $A$ ganzabgeschlossenen Teilring $A^{+}$, der im Ring potenz-beschränkter Elemente $A^{\circ }\subset A$ enthalten ist.

Ein Huber-Paar heißt Tate (bzw. vollständig), falls $A$ ein Tate-Ring (bzw. vollständiger Ring) ist.

Beispiele

• $({\mathbb{Q}}_p,{\mathbb{Z}}_p)$ mit der $p$-adischen Topologie ist ein vollständiges Tate Huber-Paar. Es ist $p\in {\mathbb{Q}}_p^{\times }$ eine topologisch nilpotente Einheit, denn $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}^n=0$ in der $p$-adischen Topologie.
• Sei $𝔽$ ein endlicher Körper. Das Paar $(𝔽((t)),𝔽[[t]])$ mit der $t$-adischen Topologie ist ein vollständiges Tate Huber-Paar. Es ist $t\in 𝔽((t){)}^{\times }$ ist eine topologisch nilpotente Einheit, denn $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}^n=0$ in der $t$-adischen Topologie.
• Ist allgemeiner $K$ ein lokaler Körper mit Ganzheitsring ${𝒪}_K$ und uniformisierendem Element $\varpi$, so ist $(K,{𝒪}_K)$ ein vollständiges Tate Huber-Paar mit Definitionspaar $({𝒪}_K,\varpi {𝒪}_K)$.

Weblinks

• Sophie Morel: Adic spaces.