Potenz-beschränktes Element

Ein potenz-beschränktes Element ist ein Element eines topologischen Ringes, dessen Potenzen beschränkt sind. Diese Elemente finden Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei $A$ ein topologischer Ring. Eine Teilmenge $T\subset A$ heißt beschränkt, falls für jede Umgebung $U$ der Null eine offene Umgebung $V$ der Null existiert, sodass $T\cdot V:=\{t\cdot v\mid t\in T,v\in V\}\subset U$ gilt. Ein Element $a\in A$ heißt potenz-beschränkt, falls die Menge $\{a^n\mid n\in \mathbb{N}\}$ beschränkt ist.

Beispiele

• Ein Element $x\in ℝ$ ist genau dann potenz-beschränkt, wenn $|x|\le 1$ gilt.
• Ist allgemeiner $A$ ein topologischer kommutativer Ring, dessen Topologie von einem Betrag induziert wird, dann ist ein Element $x\in A$ genau dann potenz-beschränkt, wenn $|x|\le 1$ gilt. Ist der Betrag nicht-archimedisch, so bilden die potenz-beschränkten Elemente einen Teilring, der mit $A^{\circ }$ bezeichnet wird. Das folgt aus der ultrametrischen Ungleichung.
• Der Ring der potenz-beschränkten Elemente in ${\mathbb{Q}}_p$ ist ${\mathbb{Q}}_p^{\circ }={\mathbb{Z}}_p$.
• Jedes topologisch nilpotente Element ist potenz-beschränkt.

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces