Hofer-Zehnder-Kapazität

In der Mathematik ist die Hofer-Zehnder-Kapazität eine Invariante symplektischer Mannigfaltigkeiten. Sie gehört zur Klasse der symplektischen Kapazitäten, die die „symplektische Größe“ messen und damit eine Obstruktion gegen die Existenz symplektischer Einbettungen liefern. Sie wurde von Helmut Hofer und Eduard Zehnder eingeführt.

Definition

Es sei $(M,\omega )$ eine symplektische Mannigfaltigkeit, evtl. mit Rand $\partial M$.

Eine glatte Funktion $H:M\to ℝ$ mit Hamiltonschem Vektorfeld $X_H$ heißt zulässig, wenn $H\ge 0$ überall und $H=0$ auf einer nichtleeren offenen Menge, wenn es eine kompakte Menge $K\subset M\setminus \partial M$ gibt, auf deren Komplement $H$ konstant sein Maximum annimmt, und wenn alle nicht-konstanten periodischen Integralkurven von $X_H$ die Periode $1$ haben.

Die Hofer-Zehnder-Kapazität $c_{HZ}(M,\omega )$ ist dann definiert als

$c_{HZ}(M,\omega ):=\sup \{\max (H)|H:M\to ℝ\text{ zulässig }\}$.

Literatur

• H. Hofer, E. Zehnder: A new capacity for symplectic manifolds. Analysis, et cetera, Res. Pap. in Honor of J. Moser’s 60th Birthd., 405–427 (1990).
• H. Hofer, E. Zehnder: Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. Birkhäuser Advanced Texts. Basel: Birkhäuser. xiii, 341 p. (1994).