Harmonische Folge

Die ersten 10 Folgeglieder der harmonischen Folge

Die harmonische Folge ist die mathematische Zahlenfolge der Kehrwerte der positiven ganzen Zahlen, also die Folge

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdots$

mit dem allgemeinen Glied

$a_n=\frac{1}{n}n\ge 1$.

Jedes Glied der harmonischen Folge mit $n\ge 2$ ist das harmonische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summation der Folgenglieder ergibt die harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Folge hat das allgemeine Glied

$a_n=\frac{{(-1)}^{(n+1)}}{n}n\ge 1$.

Für $k\in \mathbb{N}$ ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}={\left(\frac{1}{n^k}\right)}_{n\in \mathbb{N}}=(1,\frac{1}{2^k},\frac{1}{3^k},\frac{1}{4^k},\frac{1}{5^k},\dots )$

Eigenschaften

• Die harmonische Folge konvergiert gegen Null:$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$.

• Die harmonische Folge ist monoton fallend und hat nur strikt positive Folgenglieder.
• Das Maximum der Folgenglieder und damit das Supremum ist 1. Das Infimum der Folgenglieder ist 0, welches aber nicht durch die Folge angenommen wird.