Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.

Definition

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter $\beta >0$ und Lageparameter $\mu \in ℝ$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\frac{1}{\beta }{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\beta }(x-\mu )}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\beta }(x-\mu )}},x\in ℝ$

und damit die Verteilungsfunktion

$F(x)={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\beta }(x-\mu )}},x\in ℝ$

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter $\mu =0$ und $\beta =1$ gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet. Damit ergibt sich die Dichte

$f(x)={\mathrm{e}}^{-x}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{e}}^{-x}},x\in ℝ$

und die Verteilungsfunktion

$F(x)={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{e}}^{-x}},x\in ℝ$

Durch die affin-linearen Transformationen $X\mapsto Y:=\mu +\beta X$ mit $\beta >0$ erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

• $F_Y(x)=F\left(\frac{x-\mu }{\beta }\right)$,
• $f_Y(x)=\frac{1}{\beta }f\left(\frac{x-\mu }{\beta }\right)$,
• $\mathrm{E}(Y)=\mu +\beta \mathrm{E}(X)$ und
• $\mathrm{Var}(Y)={\beta }^2\mathrm{Var}(X).$

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

$\mathrm{E}(X)=\mu +\beta \gamma$.

Dabei ist $\gamma \approx 0,5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

$\mathrm{Var}(X)=\frac{(\pi \beta {)}^2}{6}$.

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

$\sigma =\frac{\pi \beta }{\sqrt{6}}$.

Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

• Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
• Verkehrsplanung
• Meteorologie (Wettervorhersage)

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern $\mu =0$ und $\beta =1$ ist eine Extremwertverteilung vom Typ I und ergibt sich als Spezialfall für $\xi =0,\mu =0,\sigma =0$ aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld