Fréchet-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter $\alpha$ besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs- und Dichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter $\alpha >0$ die Verteilungsfunktion

${\mathrm{\Phi }}_{\alpha }(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{für }x\le 0\\ \exp (-x^{-\alpha })=\exp (-1/x{}^{\alpha })& \text{für }x>0\end{array}.$

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

${\varphi }_{\alpha }(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{für }x\le 0\\ \alpha x^{-(\alpha +1)}\exp (-x^{-\alpha })& \text{für }x>0\end{array}.$

Momente und Median

Im Folgenden sei $X$ eine $\alpha$-Fréchet-verteilten Zufallsvariable und $\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ die Gamma-Funktion.

Median

Der Median ist

$\mathrm{Med}(X)={\left(\frac{1}{{\log }_e(2)}\right)}^{1/\alpha }$

Existenz von Momenten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn $\alpha >k$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

$\mathrm{E}(X)=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })$.

Varianz

Die Varianz ist

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-{\left(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })\right)}^2$

Schiefe

Die Schiefe ist

${\gamma }_m(X)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{3}{\alpha })-3\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })+2{\mathrm{\Gamma }}^3(1-\frac{1}{\alpha })}{{(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-{\mathrm{\Gamma }}^2(1-\frac{1}{\alpha }))}^{\frac{3}{2}}}$

Kurtosis

Die Kurtosis ist

$\mathrm{Kurt}(X)=-6+\frac{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{4}{\alpha })-4\mathrm{\Gamma }(1-\frac{3}{\alpha })\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })+3{\mathrm{\Gamma }}^2(1-\frac{2}{\alpha })}{{[\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-{\mathrm{\Gamma }}^2(1-\frac{1}{\alpha })]}^2}$

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Ist $X$ Fréchet-verteilt mit Parameter $\alpha$, so ist $\ln X$ Gumbel-verteilt mit Parametern $\mu =0$ und $\beta =\frac{1}{\alpha }$.

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur

• J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
• J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

Einzelnachweise

• mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011