Lage-Skalen-Familie

In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie bzw. Lage- und Skalenfamilie eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.

Definition

Sei $Z$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_Z$, und für $\mu \in ℝ$ und $\sigma >0$ sei

$X=\mu +\sigma Z$.

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von $Z$ induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter $\mu$ und Skalenparameter $\sigma$. Für $\mu =0$ spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für $\sigma =1$ spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter $\mu$.

Eigenschaften

Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen

Die Verteilungsfunktion $F_X$ der Zufallsvariablen $X$ kann durch die Verteilungsfunktion $F_Z$ der Zufallsvariablen $X$ ausgedrückt werden. Es gilt

$F_X(t)=F_Z\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)\text{für alle }t\in ℝ,$

da

$F_X(t)=P(X\le t)=P(\mu +\sigma Z\le t)=P(Z\le \frac{t-\mu }{\sigma })=F_Z\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right).$

Die durch $F_Z$ erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter $\mu$ und dem Skalenparamater $\sigma >0$ kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen

$\{F_{\mu ,\sigma }(\cdot )=F_Z\left(\frac{\cdot -\mu }{\sigma }\right)|\mu \in ℝ,\sigma >0\}.$

charakterisiert werden.

Zusammenhang zwischen den Quantilfunktionen

Ist $F_Z$ auf $\{x\in ℝ:F_Z(x)\in (0,1)\}$ stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion $F_X$ von $X$ auf $\{x\in ℝ:F_X(x)\in (0,1)\}$ stetig und streng monoton und es gilt:

$F_X^{-1}(u)=\mu +\sigma F_Z^{-1}(u),u\in (0,1)$.

Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt

$F_X^{-1}(u)=\sigma F_Z^{-1}(u),u\in (0,1)$.

Beispiele

• Die Normalverteilungen $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter $\mu \in ℝ$ und dem Skalenparamater $\sigma >0$. Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist

$\{{\mathrm{\Phi }}_{\mu ,\sigma }(\cdot )=\mathrm{\Phi }\left(\frac{\cdot -\mu }{\sigma }\right)|\mu \in ℝ,\sigma >0\}$,

wobei $\mathrm{\Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist $\mu$ zugleich der Erwartungswert und $\sigma$ ist zugleich die Standardabweichung von $X\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

• Die Exponentialverteilungen $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$ mit den Verteilungsfunktionen

$F_{\lambda }(x)=\{\begin{array}{cc}1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}& \text{für }x>0,\\ 0& \text{für }x\le 0\end{array}$

für $\lambda >0$ bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter $\sigma =1/\lambda$. Dabei ist $\sigma$ zugleich die Standardabweichung von $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$.

• Aus der Standard-Cauchyverteilung $\mathrm{C}(0,1)$ mit der Verteilungsfunktion

$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (x)\text{für }x\in ℝ$.

kann die Lage-Skalen-Familie $\{C(\mu ,\sigma )\mid \mu \in ℝ,\sigma >0\}$ gebildet werden, indem ausgehend von $Z\sim \mathrm{C}(0,1)$ die Verteilungen von $\mu +\sigma Z$ für $\mu \in ℝ$ und $\sigma >0$ gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von $\mu +\sigma Z$ ist

$F_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$.

Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter $\mu$ und der Skalenparameter $\sigma$ bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.

Literatur

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