Grenzwertkriterium

Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, um zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Aussagen

Es seien $\sum _k{a}_k$ und $\sum _k{b}_k$ zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (das heißt, $a_k>0$ und $b_k>0$ für alle $k\in \mathbb{N}$). Dann gilt

• Ist $\mathrm{lim\; sup}\frac{a_k}{b_k}<\mathrm{\infty }$ und konvergiert die Reihe $\sum b_k$, so konvergiert auch $\sum a_k$.
• Ist $\mathrm{lim\; inf}\frac{a_k}{b_k}>0$ (das ist äquivalent zu $\mathrm{lim\; sup}\frac{b_k}{a_k}<\mathrm{\infty }$), so folgt analog aus der Konvergenz von $\sum a_k$ die Konvergenz von $\sum b_k$.
• Gilt zugleich $0<\mathrm{lim\; inf}\frac{a_k}{b_k}\le \mathrm{lim\; sup}\frac{a_k}{b_k}<\mathrm{\infty }$, so haben $\sum a_k$ und $\sum b_k$ das gleiche Konvergenzverhalten.

Insbesondere gilt:

• Konvergiert die Folge $\frac{a_k}{b_k}$ gegen einen Wert $c$ mit $0<c<\mathrm{\infty }$, so konvergiert die Reihe $\sum a_k$ genau dann, wenn die Reihe $\sum b_k$ konvergiert.

Beweis

Ist $\mathrm{lim\; sup}\frac{a_k}{b_k}<\mathrm{\infty }$, so ist $\frac{a_k}{b_k}<C$ und daher $a_k<C{b}_k$ für ein geeignetes $C$ und alle genügend großen $k$. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum b_k$ die Konvergenz von $\sum a_k$.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 204-205
• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 978-0-8176-8289-7, S. 50
• Ed Barbeau: Fallacies, Flaws, and Flimflam. In: The College Mathematics Journal, Vol. 38, No. 2, März 2007, S. 131–134, Vorlage:JSTOR
• Michele Longo, Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. In: Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3, Juni 2006, S. 205–210 (Vorlage:JSTOR)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. In: Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5, Dezember 2012, S. 374–375, doi:10.4169/math.mag.85.5.374

Weblinks

• Oswald Riemenschneider: Analysis II (PDF; 1,8 MB) Skript, Uni Hamburg, Satz 16.33
• Vorlage:MathWorld
• Pauls Online Notes on Comparison Test