Graßmann-Plücker-Relation

Die Graßmann-Plücker-Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Determinanten mit teilweise übereinstimmenden Spalten.

Definitionen und Sätze

Allgemeine Form

Eine allgemeine Graßmann-Plücker-Relation hat die Form

$\sum _{i=1}^{r+1}(-1{)}^i\cdot \det (A_1,\dots ,A_{r-1},B_i)\cdot \det (B_1,\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=0$

wobei $A_1,\dots ,A_{r-1},B_1,\dots ,B_{r+1}$ Vektoren in einem r-dimensionalen Vektorraum sind, die die Spalten der Matrizen bilden, deren Determinanten berechnet werden.

Die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums wird häufig als Rang bezeichnet (und daher hier als r abgekürzt). In Fällen, in denen die Spalten homogene Koordinaten von Punkten darstellen, liegen diese Punkte in einem projektiven Raum eine Dimension niedriger.

Konkrete Form für niedrige Dimensionen

In Rang 2 hat die Formel 3 Summanden und verwendet 4 Vektoren A bis D:

$\det (A,B)\cdot \det (C,D)-\det (A,C)\cdot \det (B,D)+\det (A,D)\cdot \det (B,C)=0$

In Rang 3 hat die Formel 4 Summanden und verwendet 6 Vektoren A bis F:

$\det (A,B,C)\cdot \det (D,E,F)-\det (A,B,D)\cdot \det (C,E,F)+\det (A,B,E)\cdot \det (C,D,F)-\det (A,B,F)\cdot \det (C,D,E)=0$

Kurzer, konzeptioneller Beweis

Wir fixieren $A_1,\dots ,A_{r-1}$ und betrachten die Abbildung

$(B_1,\dots ,B_{r+1})\mapsto \text{ die linke Seite der Graßmann-Plücker-Relation}$

Diese Abbildung ist offenbar multilinear (d. h. linear in jedem $B_i$ separat). Außerdem wird die rechte Seite null, wenn es $j\ne k$ gibt mit $B_j=B_k$, denn dann sind nur die Summanden mit $i=j$ und $i=k$ möglicherweise ungleich null, und sie heben einander weg. Das heißt, dass die Abbildung alternierend ist. Ein grundlegender Satz der linearen Algebra besagt, dass eine alternierende multilineare Abbildung von r+1 Vektoren auf einem r-dimensionalen Vektorraum identisch Null sein muss. Das ist gerade die Graßmann-Plücker-Relation.

Langer Beweis

Falls alle vorkommenden Summanden 0 sind, ist die Gleichung trivialerweise erfüllt. Nehmen wir also an, dass einer der Summanden von 0 verschieden ist. O.B.d.A. sei dies der erste Summand, da wir die Vektoren der beiden Mengen A und B beliebig umsortieren können. Der erste Summand besteht also aus zwei Matrizen, deren Determinanten von 0 verschieden sind.

Bezeichnen wir die Matrix in der ersten Determinante mit M und die zweite mit N.

$M=(A_1,\dots ,A_{r-1},B_1)N=(B_2,\dots ,B_{r+1})$

Multipliziert man alle vorkommenden Matrizen mit der inversen Matrix $M^{-1}$, so wird jede Determinante mit dem Faktor $\det (M^{-1})\ne 0$ multipliziert, die gesamte Gleichung also mit dem Quadrat davon. Diesen Faktor kann man ausklammern und aus der Gleichung ziehen. Da $M^{-1}M$ die Einheitsmatrix ist, kann man also o. B. d. A. annehmen, dass die erste Matrix die Einheitsmatrix ist.

In diesem Fall gilt $A_i=e_i$ (für $i=1,\dots ,(r-1)$) und $B_1=e_r$.

$\sum _{i=1}^{r+1}(-1{)}^i\cdot \det (e_1,\dots ,e_{r-1},B_i)\cdot \det (B_1,\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=$

$\det (E_r)\cdot \det (B_2,\dots ,B_{r+1})+\sum _{i=2}^{r+1}(-1{)}^i\cdot \det (e_1,\dots ,e_{r-1},B_i)\cdot \det (e_r,\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=$

$\det (N)+\sum _{i=2}^{r+1}(-1{)}^i\cdot n_{r,(i-1)}\cdot \det (N_{r,(i-1)})=$

$\det (N)-\det (N)=0$

Dabei wird die Summe als Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile aufgefasst. Der Eintrag $n_{r,(i-1)}$, der in der Matrix $N$ in der letzten Zeile $r$ und in der Spalte $i$ steht, entspricht dabei der letzten Komponente des Vektors $B_i$, da $N$ mit $B_2$ anfängt. Die Matrix $N_{r,(i-1)}$ ist die Untermatrix, wenn man den Vektor $B_i$ und die letzte Zeile entfernt. Diese Untermatrizen ergeben sich durch Entwicklung der zweiten Determinante nach der ersten Spalte.

Anwendungen

• Die Graßmann-Plücker-Relationen gehören zu den Syzygien. Sie können verwendet werden, um Beweise (etwa von geometrischen Schließungssätzen) zu formulieren.
• Orientierte Matroide können dadurch charakterisiert werden, dass sie in keinem offensichtlichen Widerspruch zu den Graßmann-Plücker-Relationen stehen.
• Graßmann-Plücker-Koordinaten, die zur Beschreibung geometrischer Objekte in höherdimensionalen projektiven Räumen verwendet werden, müssen diese Relationen erfüllen, um konsistent zu sein.

Siehe auch

• Syzygie

Literatur

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