Strukturkonstante

Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.

Definition

Sei $V$ eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$ und sei $\{x_1,\dots ,x_n\}$ eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle $i,j\in 1,\dots n$ die Zerlegung

$[x_i,x_j]=\sum _{k=1}^n{c}_{ij}^k{x}_k$

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die $n^3$ Konstanten $c_{ij}^k\in ℂ$ (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

Eigenschaften

• Antisymmetrie

Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;

$c_{ij}^k=-c_{ji}^k$

Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes $c_{ii}^k=0$.

• Jacobi-Identität

Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:

$\sum _{l=1}^n(c_{il}^m{c}_{jk}^l+c_{jl}^m{c}_{ki}^l+c_{kl}^m{c}_{ij}^l)=0$

• Tensorstruktur

Die Strukturkonstanten sind $(2,1)$-Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel $x_i\to {x_i}^{\prime }={\sum }_{j=1}^n{a}_i^j{x}_j$ gilt:

$\sum _{k=1}^n{c^{\prime }}_{ij}^k{a}_k^l=\sum _{r,s=1}^n{c}_{rs}^l{a}_i^r{a}_j^s$

Beispiel

Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra $𝔰𝔲(2)$ in der Basis der Pauli-Matrizen ${\sigma }_i,i=1,2,3$ gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt

$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=\sum _{k=1}^{3}2\mathrm{i}{\epsilon }_{ij}^k{\sigma }_k$

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol ${\epsilon }_{ij}^k$.

Literatur

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