Gefärbtes Jones-Polynom

Das gefärbte Jones-Polynom ist eine Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie. Es hängt von einem Parameter $N\in \mathbb{N}$ ab und ordnet einer Verschlingung $L$ ein Laurent-Polynom $J_N(L,q)$ in einer Variablen $q$ zu. Für $N=2$ erhält man das Jones-Polynom.

Definition

Das gefärbte Jones-Polynom ist die der N-dimensionalen irreduziblen Darstellung von $sl(2,ℂ)$ entsprechende Quanteninvariante. Explizit wird sie mit der R-Matrix

$R_{kl}^{ij}:=\sum _{m=0}^{N-1-j,i}{\delta }_{l,i+m}{\delta }_{k,j-m}\frac{\left\{l\right\}!\{N-1-k\}!}{\left\{i\right\}!\left\{m\right\}!\{N-1-j\}!}{q}^{(-i-\frac{N-1}{2})(j-\frac{N-1}{2})-m\frac{i-j}{2}-\frac{m(m+1)}{4}}$

und dem durch $\mu (e_j)=\sum _{i=0}^{N-1}{\delta }_{ij}{q}^{\frac{2i-N+1}{2}}{e}_i$ gegebenen Isomorphismus $\mu :{ℂ}^N\to {ℂ}^N$ konstruiert, siehe Quanteninvariante#Konstruktion via R-Matrizen. Hierbei ist $\left\{m\right\}:=q^{\frac{m}{2}}-q^{-\frac{m}{2}}$ und $\left\{m\right\}!=\left\{1\right\}\left\{2\right\}\dots \left\{m\right\}$.

Alternativ kann man $J_N(L,q)$ als das Jones-Polynom der aus $N-1$ zu $L$ parallelen Verschlingungen bestehenden Verschlingung definieren. Dieser Ansatz ist aber für konkrete Berechnungen völlig unpraktikabel, weil die Zahl der Überkreuzungen quadratisch in $N$ wächst.

Beispiel

Das gefärbte Jones-Polynom der Kleeblattschlinge ist

$J_N(L,q)=\frac{q^{\frac{1-n}{2}}}{1-q^{-1}}\sum _{k=0}^{n-1}{q}^{-kn}(1-q^{-n})(1-q^{1-n})\dots (1-q^{k-n})$.

Das gefärbte Jones-Polynom des Achterknotens ist

$J_N(L,q)=q^{1-N}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{k=0}^n\left(\prod _{i=0}^{k-1}\frac{1-q^{n-i}}{1-q^{i+1}}\right)q^{n+k(k+1)}[\prod _{j=1}^n(1-q^{j-N})][\prod _{i=1}^{n-k}(1-q^{k+i-N})]$.

Eigenschaften

• Das gefärbte Jones-Polynom ist multiplikativ unter verbundener Summe: $J_N(L_1\mathrm{♯}{L}_2,q)=J_N(L_1,q)J_N(L_2,q)$.
• Das gefärbte Jones-Polynom erfüllt eine Rekurrenzrelation.

Kashaev-Invariante

Die Kashaev-Invariante ist der Wert des gefärbten Jones-Polynoms an der N-ten Einheitswurzel:

$⟨L{⟩}_N:=J_N(L,e^{\frac{2\pi i}{N}})$.

Die Volumenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen der Kashaev-Invariante und dem komplexen Volumen eines hyperbolischen Knotens her.

Literatur

• Wladimir Turajew: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Second revised edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 18. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2010. ISBN 978-3-11-022183-1
• P. M. Melvin, H. R. Morton: The coloured Jones function. Comm. Math. Phys. 169 (1995), no. 3, 501–520.

Weblinks

• The colored Jones polynomial