Komplexes Volumen

In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.

Definition

Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens $M$ wird das komplexe Volumen definiert als

${\mathrm{vol}}_{ℂ}(M):=\mathrm{vol}(M)+i\mathrm{cs}(M)\in ℂ/4{\pi }^2\mathbb{Z}i$,

wobei $\mathrm{vol}(M)$ das hyperbolische Volumen und $\mathrm{cs}(M)$ die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen $\rho :{\pi }_{1}M\to SL(n,ℂ)$ das komplexe Volumen definieren als

${\mathrm{vol}}_{ℂ}(\rho ):=i⟨{\hat{c}}_2(E_{\rho }),\left[M\right]⟩\in ℂ/4{\pi }^2\mathbb{Z}i$,

wobei $E_{\rho }$ das flache Bündel mit Holonomie $\rho$,

${\hat{c}}_2(E_{\rho })\in H^3(M;ℂ/4{\pi }^2\mathbb{Z}i)$

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und

$\left[M\right]\in H_3(M;\mathbb{Z})$

die Fundamentalklasse von $M$ ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten $K$ die Gleichung

${\mathrm{vol}}_{ℂ}(S^3\setminus K)=2\pi \underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\log J_N(K,e^{\frac{2\pi i}{N}})$,

wobei $J_N(K,q)$ das $N$-te gefärbte Jones-Polynom von $K$ bezeichnet.

Literatur

• W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
• S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf