Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ist in der Stochastik und insbesondere im Malliavin-Kalkül ein Wahrscheinlichkeitsraum zusammen mit einem Hilbert-Raum zentrierter, reeller gaußscher Zufallsvariablen, welcher gaußscher Hilbert-Raum (oder gaußscher Raum) genannt wird. Wichtige Beispiele gaußscher Wahrscheinlichkeitsräume sind die abstrakten Wiener-Räume.

Die Terminologie ist in der Literatur nicht immer einheitlich, generell versteht man unter dem Begriff gaußscher Raum einen abgeschlossenen Unterraum des L²-Raumes, dessen Elemente zentrierte Gauß-Variablen sind. Manche Autoren bezeichnen aber auch allgemein Räume mit einem gaußschen Maß als gaußsche Räume. Wir folgen der Monographie () von Paul Malliavin.

Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H},{ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp })$ besteht aus

• einem (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ ,
• einem abgeschlossenen Unterraum $\mathscr{H}\subset L^2(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$, so dass alle $X\in \mathscr{H}$ zentrierte Gauß-Variablen sind, d. h. es gilt $X\sim 𝒩(0,{\sigma }^2)$. Die σ-Algebra der Elemente in $\mathscr{H}$ notieren wir mit ${ℱ}_{\mathscr{H}}$.
• einer σ-Algebra ${ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp }$ der transversalen Zufallvariablen, welche durch die Beziehung

$ℱ={ℱ}_{\mathscr{H}}\otimes {ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp }$

definiert wird.

Irreduzibilität

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum heißt irreduzibel, wenn $ℱ={ℱ}_{\mathscr{H}}$ gilt. Irreduzible gaußsche Wahrscheinlichkeitsräume werden mit $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H})$ notiert. Der Begriff der nicht-irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsräume wird aus zwei Gründen definiert:

1. Um auf Unterräumen arbeiten zu können.
2. Um den Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ erweitern zu können.

Ansonsten wählt man in der Regel einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.

Unterräume

Ein Unterraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,{\mathscr{H}}_1,{𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp })$ eines gaußschen Wahrscheinlichkeitsraumes $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H},{ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp })$ besteht aus

• einem abgeschlossenen Unterraum ${\mathscr{H}}_1\subset \mathscr{H}$ von $\mathscr{H}$,
• einer Teil-σ-Algebra ${𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp }\subset ℱ$ der transversalen Zufallvariablen, so dass ${𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp }$ und ${𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}$ unabhängig sind und eine neue Produkt-σ-Algebra $𝒜={𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}\otimes {𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp }$ bilden. Des Weiteren soll gelten $𝒜\cap {ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp }={𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp }$.

Beispiel:

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H},{ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp })$ gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum mit abgeschlossenem ${\mathscr{H}}_1\subset \mathscr{H}$. Sei nun $V$ das orthogonale Komplement von ${\mathscr{H}}_1$ in $\mathscr{H}$. Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit zwischen $V$ und ${\mathscr{H}}_1$, also ist ${𝒜}_V$ unabhängig von ${𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}$. Definiere nun ${𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp }$ durch ${𝒜}_{{\mathscr{H}}_1}^{\perp }:=\sigma ({𝒜}_V,{ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp })={𝒜}_V\vee {ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp }$.

Bemerkung

Bemerke, für $G=L^2(\mathrm{\Omega },{ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp },P)$ gilt $L^2(\mathrm{\Omega },ℱ,P)=L^2((\mathrm{\Omega },{ℱ}_{\mathscr{H}},P);G)$.

Fundamentalalgebra

Zu einem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H},{ℱ}_{\mathscr{H}}^{\perp })$ definieren wir die Algebra der zylindrischen Zufallsvariablen der Form

${𝔸}_{\mathscr{H}}=\{F=P(X_1,\dots ,X_n):X_i\in \mathscr{H}\}$

wobei $P$ ein Polynom in $n$ Variablen ist und nennen ${𝔸}_{\mathscr{H}}$ die Fundamentalalgebra. Es gilt ${𝔸}_{\mathscr{H}}\subset L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ für $p<\mathrm{\infty }$.

Für einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H})$ gilt, dass ${𝔸}_{\mathscr{H}}$ eine dichte Menge in $L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ für alle $p\in [1,\mathrm{\infty }[$ ist.

Numerisches Modell und Segal-Modell

Ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,\mathscr{H})$ mit einer gewählten Basis für $\mathscr{H}$ nennt man numerisches Modell. Zwei numerische Modelle sind isomorph, wenn ihre gaußschen Räume die gleiche Dimension haben.

Gegeben ist ein separabler Hilbert-Raum $G$, dann existiert immer ein kanonischer irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $\mathrm{Seg}(G)=(\mathrm{\Omega },ℱ,P,G)$ namens Segal-Modell mit $G$ als gaußscher Raum. In diesem Fall notiert man die zu $g\in G$ assoziierte gaußsche Zufallsvariable als $W(g)$ und schreibt entsprechend den gaußschen Raum als $𝒢=\{W(g):g\in G\}$, das heißt $\mathrm{Seg}(G)=(\mathrm{\Omega },ℱ,P,𝒢)$. Diese Notation ist analog zu dem isonormalen Gauß-Prozess.

Beispiele

• Sei $C_0[0,1]=\{\omega :\omega \text{ ist stetig auf }[0,1],\omega (0)=0\}$ der klassische Wiener-Raum, $ℬ(C_0)=\sigma (W_s,0\le s\le 1)$ die σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen $W_s:\omega \mapsto \omega (s)$ (oder äquivalent die borelsche σ-Algebra von $C_0[0,1]$) und $\mu$ das Wiener-Maß. Weiter sei $H=L^2(0,1)$ und $\mathscr{H}=\{W_h,h\in H\}$ die Familie der Wiener-Integrale definiert durch

$W_h(\omega )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}h(t)d\omega (t).$

Dann ist $(C_0[0,1],ℬ(C_0),\mu ,\mathscr{H})$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.

• Sei $(X,H,\mu )$ ein abstrakter Wiener-Raum, d. h. $X$ ist ein separabler Banach-Raum und $H$ separabler Hilbert-Raum, der stetig und dicht in $X$ eingebettet ist, $\mu$ ein zentriertes gaußsches Maß und $\mathscr{H}=\{W_l(x):=⟨l,x⟩,l\in X^{*}\}$. Dann ist $(X,ℬ(X),\mu ,\mathscr{H})$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.