Flach (Geometrie)

In der Mathematik werden flache Unterräume Riemannscher Mannigfaltigkeiten als Flachs (engl.: flats) bezeichnet. Der Begriff ist besonders in der Theorie nichtpositiver Krümmung und speziell in der Theorie symmetrischer Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei $X$ eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine $r$-dimensionale total-geodätische Untermannigfaltigkeit $F\subset X$ ist ein r-Flach, wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum ${ℝ}^r$ ist. Daraus folgt insbesondere, dass die Schnittkrümmung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist.

Man kann Flachs auch charakterisieren als einfach zusammenhängende, total-geodätische Untermannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung konstant Null ist.

Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit $X$ werden als maximale Flachs in $X$ bezeichnet.

Beispiele

Im euklidischen Raum ${ℝ}^n$ sind die affinen Unterräume die einzigen Flachs. Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrümmung (z. B. Kreiszylinder im ${ℝ}^3$), aber diese sind nicht einfach zusammenhängend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum.

In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung sind die Geodäten (1-dimensionale Flachs) bereits die maximalen Flachs, da 2-dimensionale Flachs verschwindende Krümmung hätten.

Flachs in symmetrischen Räumen

Es sei $X=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang $r$, und $𝔤=𝔨\oplus 𝔭$ seine Cartan-Zerlegung. Für $x\in X$ sei $ex{p}_x:𝔭\to X$ die Exponentialabbildung in $x$.

Dann sind alle $x$ enthaltenden $r$-Flachs $F\subset X$ von der Form

$F=ex{p}_x(𝔞)$

für eine maximal abelsche Unteralgebra $𝔞\subset 𝔭$.

(Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen.)

Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs $F_1,F_2\subset X$ und je zwei Punkten $x_1\in F_1,x_2\in F_2$ eine Isometrie $g\in G$ mit

$g(F_1)=F_2,g(x_1)=x_2$.

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist (per Definition) die Dimension eines maximalen Flachs.

Siehe auch

• Flache Mannigfaltigkeit

Literatur

• Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
• Patrick Eberlein: Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996. ISBN 0-226-18197-9; 0-226-18198-7