Faktorion

Clifford Pickover, der Namensgeber dieser Zahlen

In der Zahlentheorie ist ein Faktorion (englisch Factorion) eine natürliche Zahl $n$, welche der Summe der Fakultäten ihrer Stellen gleich ist.

Mit anderen Worten und etwas allgemeiner (und mathematischer) mit Basis $b$ (also nicht nur im Dezimalsystem mit Basis $b=10$):

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Die Summe der Fakultät ihrer Stellen (Digits) sei für eine Basis $b>1$ wie folgt definiert:

$SF{D}_b(n):=\sum _{i=0}^{k-1}{d}_i!$

wobei $k=\lfloor {\log }_{b}n\rfloor +1$ die Anzahl der Stellen der Zahl $n$ in der Basis $b$ angibt. $n!$ ist die Fakultät von $n$ und

$d_i=\frac{nmod{b}^{i+1}-nmod{b}^i}{b^i}$

ist der Wert der $i$-ten Stelle der Zahl $n$.

Eine natürliche Zahl $n$ nennt man $b$-Faktorion, wenn sie zur Basis $b$ ein Fixpunkt der Abbildung $SF{D}_b$ ist, wenn also $SF{D}_b(n)=n$ gilt.

Der Name Faktorion stammt vom amerikanischen Mathematiker und Autor Clifford A. Pickover.

Beispiele

• Sei $n=145$ im Dezimalsystem (also zur Basis $b=10$). Dann gilt:

$SF{D}_{10}(145)=1!+4!+5!=1+24+120=145$

Somit ist $n=145$ ein Faktorion zur Basis 10.

• Sei $n=40585$ im Dezimalsystem (also zur Basis $b=10$). Dann gilt:

$SF{D}_{10}(40585)=4!+0!+5!+8!+5!=24+1+120+40320+120=40585$

Somit ist $n=40585$ ein Faktorion zur Basis 10.

• Es folgt eine Liste aller Faktorionen $n$ im Dezimalsystem:

1, 2, 145, 40585 (Vorlage:OEIS)

• Es ist $n=49_{10}=\underset{\_}{1}\cdot 5^2+\underset{\_}{4}\cdot 5^1+\underset{\_}{4}\cdot 5^0=144_5$ im Quinärsystem (also zur Basis $b=5$). Dann gilt:

$SF{D}_5(144_5)=1!+4!+4!=1_{10}+24_{10}+24_{10}=49_{10}=144_5$

Somit ist $n=144_5$ ein Faktorion zur Basis 5.

• Es ist $n=41282_{10}=\underset{\_}{6}\cdot 9^4+\underset{\_}{2}\cdot 9^3+\underset{\_}{5}\cdot 9^2+\underset{\_}{5}\cdot 9^1+\underset{\_}{8}\cdot 9^0=62558_9$ im Nonärsystem (also zur Basis $b=9$). Dann gilt:

$SF{D}_9(62558_9)=6!+2!+5!+5!+8!=720_{10}+2_{10}+120_{10}+120_{10}+40320_{10}=41282_{10}=62558_9$

Somit ist $n=62558_9$ ein Faktorion zur Basis 9.

Eigenschaften

• Im Dezimalsystem gibt es nur 4 Faktorionen, nämlich 1, 2, 145 und 40585.

• Die Zahlen $n=1$ und $n=2$ sind Fixpunkte der Funktion $SF{D}_b$ für alle Basen $b$ und somit triviale Faktorionen für alle $b$. Alle anderen Faktorionen sind nichttriviale Faktorionen.

Beweis:

Es ist $SF{D}_b(1)=1!=1$ und $SF{D}_b(2)=2!=2$.

Im Dualsystem, also mit der Basis $b=2$, ist $2_{10}=\underset{\_}{1}\cdot 2^1+\underset{\_}{0}\cdot 2^0=10_2$ und es gilt: $SF{D}_2(10_2)=1!+0!=1_{10}+1_{10}=2_{10}=10_2$. $◻$

• Im Dualsystem (also mit der Basis $b=2$) ist die Summe der Fakultät der Ziffern die Anzahl der Ziffern $k$ selbst.

Beweis:

Es ist $0!=1!=1$. Weil jede Zahl im Dualsystem nur aus Nullen und Einsen besteht und deren Fakultät ebenfalls immer je Eins ist, erhält man mit der Funktion $SF{D}_2(n)$ die Anzahl der Ziffern von $n$. $◻$

• Für jede gegebene Basis $b$ gibt es nur eine endliche Anzahl von Faktorionen.

Beweis:

Man untersuche (zunächst einmal) im Dezimalsystem (also mit Basis $b=10$) den Maximalwert, den $SF{D}_{10}(n)$ mit einer $k$-stelligen Dezimalzahl $n$ erreichen kann. Eine $k$-stellige Dezimalzahl $n$ mit maximal großen Ziffern besteht aus $k$ 9ern. Somit muss für die Funktion $SF{D}_{10}(n)$ gelten: $SF{D}_{10}(n)\le k\cdot 9!=362880k$.

Betrachtet man nun eine allgemeine $k$-stellige Dezimalzahl $10^{k-1}\le n<10^k$ und die soeben betrachtete Ungleichung $SF{D}_{10}(n)\le k\cdot 9!$, die für alle $k$-stelligen Dezimalzahlen gilt. Es gibt nur dann Faktorionen, solange $10^{k-1}\le n\le SF{D}_{10}(n)\le k\cdot 9!$ gilt. Es ist aber sicherlich $9!=362880<10^8$. Somit erhält man die Ungleichung $10^{k-1}\le k\cdot 9!<k\cdot 10^8$.

Wenn nun aber die Anzahl der Stellen $k\ge b=10$ ist, müsste laut der obigen Ungleichung noch immer $10^{k-1}<10\cdot 10^8=10^9$ gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn $k-1<9$ und somit $k<10$ ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass $k\ge 10$ sein soll. Die Bedingung $10^{k-1}\le n\le SF{D}_{10}(n)\le k\cdot 9!$ stimmt also für $k\ge b=10$ nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Dezimalsystem geben, die 10 oder mehr Stellen haben.

Verallgemeinert man obige Überlegungen auf allgemeine Basen $b$, so erhält man die Ungleichung $b^{k-1}\le n\le SF{D}_b(n)\le k\cdot (b-1)!$ und wegen $(b-1)!<b^{b-2}$ (für $b>2$) gilt weiters $b^{k-1}\le k\cdot (b-1)!<k\cdot b^{b-2}$. Wenn nun auch hier die Anzahl der Stellen $k\ge b$ ist, müsste laut dieser Ungleichung noch immer $b^{k-1}<b\cdot b^{b-2}=b^{b-1}$ gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn $k-1<b-1$ und somit $k<b$ ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass $k\ge b$ sein soll. Die Bedingung $b^{k-1}\le n\le SF{D}_b(n)\le k\cdot (b-1)!$ stimmt also für $k\ge b$ nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Zahlensystem mit Basis $b$ geben, die $b$ oder mehr Stellen haben. Die Anzahl der Faktorionen ist also nach oben hin begrenzt, es gibt somit nur endlich viele Faktorionen, was zu zeigen war. $◻$

• Für alle Basen $b\ge 2$ zusammengenommen gibt es unendlich viele Faktorionen.

Beweis:

Es gibt Faktorionen-Gruppen, ohne auf die spezielle Basis $b$ eingehen zu müssen. Diese Gruppen bestehen aus unendlich vielen Faktorionen. Siehe weiter unten. $◻$

Gesellige und befreundete Faktorionen

Eine natürliche Zahl $n$ nennt man geselliges Faktorion, wenn man nach $k$-facher Anwendung von $SF{D}_b$ auf diese Zahl wieder genau diese Zahl erhält. $n$ ist dann ein periodischer Punkt und $SF{D}_b$ formt eine periodische Folge (oder Zykel) der Periodenlänge $k$. Ist die Periodenlänge $k=2$, so nennt man das gesellige Faktorion auch befreundetes Faktorion. Ist also $(n_1,n_2)$ ein befreundetes Faktorion-Paar, so ist $SF{D}_b(n_1)=n_2$ und $SF{D}_b(n_2)=n_1$.

Beispiele

• Sei die Basis $b=10$, also das Dezimalsystem.

Die Summe der Fakultäten der Ziffern von $n_1=871$ ist $8!+7!+1!=40320+5040+1=45361$.

Die Summe der Fakultäten der Ziffern von $n_2=45361$ ist $4!+5!+3!+6!+1!=24+120+6+720+1=871$.

Somit ist $SF{D}_{10}(871)=45361$ und $SF{D}_{10}(SF{D}_{10}(871))=SF{D}_{10}^2(871))=871$. Es ist also $n_1=871$ ein periodischer Punkt, $SF{D}_{10}$ formt eine periodische Folge der Periodenlänge $k=2$. Somit ist $(n_1,n_2)=(871,45361)$ ein befreundetes Faktorion-Paar zur Basis $b=10$.

• Es folgt eine Liste aller befreundeten Faktorion-Paare $(n_1,n_2)$ im Dezimalsystem:

(871, 45361), (872, 45362) (Vorlage:OEIS)

• Sei die Basis $b=10$, also das Dezimalsystem.

Es ist $SF{D}_{10}(169)=1!+6!+9!=1+720+362880=363601$.

Es ist $SF{D}_{10}(363601)=3!+6!+3!+6!+0!+1!=6+720+6+720+1+1=1454$.

Es ist $SF{D}_{10}(1454)=1!+4!+5!+4!=1+24+120+24=169$.

Somit ist $SF{D}_{10}^3(169))=169$. Es ist also $n_1=169$ ein periodischer Punkt, $SF{D}_{10}$ formt eine periodische Folge der Periodenlänge $k=3$. Somit ist $(n_1,n_2,n_3)=(169,363601,1454)$ ein geselliges Faktorion-Tripel zur Basis $b=10$.

• Es folgt eine Tabelle, der man alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis $b=39$ ablesen kann:

Basis $b$	Faktorionen zu dieser Basis im Dezimalsystem (Vorlage:OEIS)	Zykel geselliger und befreundeter Faktorione zur jeweiligen Basis $b$
[[Unärsystem|Vorlage:01]]	$1,2=|{|}_1,3=||{|}_1,\dots$ (alle natürlichen Zahlen)
[[Dualsystem|Vorlage:02]]	$1,2=10_2$	keine
[[Ternärsystem|Vorlage:03]]	$1,2$	keine
[[Quaternär|Vorlage:04]]	$1,2,7=13_4$	$3_4\to 12_4\to 3_4$
[[Quinär|Vorlage:05]]	$1,2,49=144_5$	keine
[[Senär|Vorlage:06]]	$1,2,25=41_6,26=42_6$	keine
Vorlage:07	$1,2$	$36_7\to 2055_7\to 465_7\to 2343_7\to 53_7\to 240_7\to 36_7$
[[Oktalsystem|Vorlage:08]]	$1,2$	$3_8\to 6_8\to 1320_8\to 12_8\to 3_8$, $175_8\to 12051_8\to 175_8$
Vorlage:09	$1,2,41282=62558_9$
10	$1,2,145,40585$	$871\to 45361\to 871$, $872\to 45362\to 872$, $169\to 363601\to 1454\to 169$
11	$1,2,26=24_{11},48=44_{11},40472=28453_{11}$
12	$1,2$
13	$1,2,519326767=83790C5B_{13}$
14	$1,2,12973363226=8B0DD409C_{14}$
15	$1,2,1441=661_{15},1442=662_{15}$
16	$1,2,2615428934649=260F3B66BF{9}_{16}$
17	$1,2,40465=8405_{17},43153254185213,43153254226251$
18	$1,2$
19	$1,2$
20	$1,2$
21	$1,2,25=14_{21}$
22	$1,2$
23	$1,2,1175342075206371480506$
24	$1,2,121=51_{24},122=52_{24}$
25	$1,2$
26	$1,2,2554945949267792653,2554945949267792654$
27	$1,2,5162=725_{27},15511266000434263077417003$
28	$1,2,144=54_{28}$
29	$1,2$
30	$1,2,9158749082185220449342855718547$
31	$1,2$
32	$1,2,274716917283731052265521640532641,274716917283731052265521640532642$
33	$1,2$
34	$1,2,18000109025414359935200386507490,8505776248524129345704131790637513,$ $534758618047777477508104143107726167,535289113281800215201773008128742106$
35	$1,2,1441=166_{35}$
36	$1,2,295241305446212678223851660458757144548$
37	$1,2,1126330494971327468882309406026121376169594$
38	$1,2,383221119611008975296796004067209041063001$
39	$1,2$

Eigenschaften

• Ein Faktorion ist ein geselliges Faktorion mit Periodenlänge $k=1$.
• Es gibt nur zwei befreundete Faktorion-Paare im Dezimalsystem, nämlich $(871,45361)$ und $(872,45362)$.
• Für jede gegebene Basis $b$ gibt es nur eine endliche Anzahl von Zyklen.

Ermitteln von Gruppen von Faktorionen

Man kann gewisse Gruppen von Faktorionen ermitteln, ohne auf die spezielle Basis $b$ eingehen zu müssen.

• Sei $k\in \mathbb{N}$ eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis $b=(k-1)!$. Dann gilt:

• $n_1=k\cdot b+1=k!+1$ ist ein Faktorion zur Basis $b$ für alle $k\ge 4$ (in Dezimalschreibweise geschrieben).
• $n_2=k\cdot b+2=k!+2$ ist ein Faktorion zur Basis $b$ für alle $k\ge 4$ (in Dezimalschreibweise geschrieben).

Beweis der 1. Behauptung:

Es ist $n_1=k\cdot b+1=k\cdot (k-1)!+1=k!+1$.

Weiters ist $n_1=(k\cdot b+1{)}_{10}=\underset{\_}{k}\cdot b^1+\underset{\_}{1}\cdot b^0=k\cdot b+1=(k1{)}_b$ die Darstellung von $n_1$ zur Basis $b$. Es sei also $k$ die Zehnerstelle und $1$ die Einerstelle von $n_1$. Es gilt:

$\begin{array}{ccc}SF{D}_b(n_1)& =& k!+1!\\ & =& k\cdot (k-1)!+1\\ & =& k\cdot b+1\\ & =& n_1\end{array}$

Somit ist $n_1$ ein Faktorion für alle $k\ge 4$ zur Basis b.

Für $k=3$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis $b=(k-1)!=2!=2$ wäre und $n_1$ in diesem Zahlensystem die Form $n_1=(31{)}_2$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer $3$ gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit $k=2$ und $k=1$. $◻$

Beweis der 2. Behauptung:

Es ist $n_2=k\cdot b+2=k\cdot (k-1)!+2=k!+2$.

Weiters ist $n_2=(k\cdot b+2{)}_{10}=\underset{\_}{k}\cdot b^1+\underset{\_}{2}\cdot b^0=k\cdot b+2=(k2{)}_b$ die Darstellung von $n_2$ zur Basis $b$. Es sei also $k$ die Zehnerstelle und $2$ die Einerstelle von $n_2$. Es gilt:

$\begin{array}{ccc}SF{D}_b(n_2)& =& k!+2!\\ & =& k\cdot (k-1)!+2\\ & =& k\cdot b+2\\ & =& n_2\end{array}$

Somit ist $n_2$ ein Faktorion für alle $k\ge 4$ zur Basis b.

Für $k=3$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis $b=(k-1)!=2!=2$ wäre und $n_2$ in diesem Zahlensystem die Form $n_2=(32{)}_2$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem diese Ziffern gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit $k=2$ und $k=1$. $◻$

Beispiel:

$k$	Basis $b=(k-1)!$	Faktorion
		$n_1$	$n_2$
4	6	$25=41_6$	$26=42_6$
5	24	$121=51_{24}$	$122=52_{24}$
6	120	$721=61_{120}$	$722=62_{120}$
7	720	$5041=71_{720}$	$5042=72_{720}$
8	5040	$40321=81_{5040}$	$40322=82_{5040}$

• Sei $k\in \mathbb{N}$ eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis $b=k!-k+1$. Dann gilt:

• $n_1=b+k=k!+1$ ist ein Faktorion zur Basis $b$ für alle $k\ge 2$ (in Dezimalschreibweise geschrieben)

Beweis:

Es ist $n_1=b+k=k!-k+1+k=k!+1$.

Weiters ist $n_1=(b+k{)}_{10}=\underset{\_}{1}\cdot b^1+\underset{\_}{k}\cdot b^0=(1k{)}_b$ die Darstellung von $n_1$ zur Basis $b$. Es sei also $1$ die Zehnerstelle und $k$ die Einerstelle von $n_1$. Dann ist $n_1=1\cdot b+k$ und es gilt:

$\begin{array}{ccc}SF{D}_b(n_1)& =& 1!+k!\\ & =& k!+1-k+k\\ & =& 1\cdot (k!-k+1)+k\\ & =& 1\cdot b+k\\ & =& n_1\end{array}$

Für $k=2$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis $b=k!-k+1=2!-2+1=2-2+1=1$ wäre und $n_1$ in diesem Zahlensystem die Form $n_1=(12{)}_1$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer $2$ gar nicht gibt.

Somit ist $n_1$ ein Faktorion für alle $k\ge 3$ zur Basis b. $◻$

Beispiel:

$k$	Basis $b=k!-k+1$	Faktorion $n_1$
3	4	$7=13_4$
4	21	$25=14_{21}$
5	116	$121=15_{116}$
6	715	$721=16_{715}$
7	5034	$5041=17_{5034}$

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Kaprekar-Zahl
• Münchhausen-Zahl
• Narzisstische Zahl

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:Internetquelle
• Vorlage:YouTube