Periodische Folge

Eine periodische Folge ist ein Begriff aus der Mathematik. Bei dieser bestimmten Klasse von Folgen wiederholen sich die Folgeglieder nach einer bestimmten Periodenlänge.

Definition

Eine Folge $a_1,a_2,a_3,\dots$ heißt periodisch, wenn es natürliche Zahlen $d$ und $N$ gibt, so dass

$a_n=a_{n+d}$

für alle $n>N$ gilt. Im Fall $N=0$ heißt die Folge reinperiodisch oder streng periodisch. Die minimale Zahl $d$ mit obiger Eigenschaft wird Periodenlänge genannt.

Beispiel

Sei $a_0=1$ und $a_{n+1}=2a_{n}mod100$ für $n\ge 0$, wobei $mod$ der Modulo-Operator ist.

Anschaulich ist $a_n$ die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von $2^n$ gebildete Zahl. Diese Folge beginnt mit den Werten

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4 …

Danach wiederholen sich diese Werte.

Betrachtet man ganz allgemein eine rekursiv definierte Folge, also eine Folge, die durch $a_{n+1}=f(a_n)$ für eine feste Funktion $f$ definiert ist, und nimmt $f$ nur endlich viele Werte an, dann ist die Folge $a_i$ immer periodisch.

Periodische Ziffernfolgen

Es sei $b>1$ eine feste natürliche Zahl. Sind $p$ und $q$ natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der Vorlage:Nowrap Darstellung von $\frac{p}{q}$ nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte $0,1,\dots ,b-1$ annehmen.

Also ist eine reelle Zahl genau dann rational, wenn sie eine periodische Vorlage:Nowrap Darstellung hat. Bei $b=10$ ist das die Dezimalbruchdarstellung.