Erdős-Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Erdős-Raum ein spezieller topologischer Raum, der von Paul Erdős im Jahr 1940 entdeckt wurde. Der Erdős-Raum ist definiert als ein Teilraum $E\subset {\ell }^2$ des Hilbertraumes der quadratsummierbaren Folgen, bestehend aus allen Folgen, deren Elemente alle rational sind.

$E$ ist ein total unzusammenhängender, eindimensionaler topologischer Raum und homöomorph zu $E\times E$ mit der Produkttopologie. Wird die Menge aller Homöomorphismen des euklidischen Raumes ${ℝ}^n$ (für $n\ge 2$), welche die Teilmenge ${\mathbb{Q}}^n$ der rationalen Vektoren invariant lassen, mit der Kompakt-Offen-Topologie ausgestattet, ist der Raum homöomorph zu $E$.

Der Erdős-Raum spielt auch in der komplexen Dynamik bei der Iteration der Funktion $f(z)=e^z-1$ eine Rolle. Sei $f^n$ die $n$-fache Komposition von $f$, dann besteht die Menge der Punkte $z\in ℂ$ mit $\text{Im}(f^n(z))\to \mathrm{\infty }$ aus paarweise disjunkten und zu $[0,\mathrm{\infty })$ homöomorphen Strahlen, welche also von Startpunkten $z\in ℂ$ “in die Unendlichkeit laufen”. Die Menge dieser Startpunkte ist homöomorph zu $E$.