Eisensteinreihe

Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.

Holomorphe Eisensteinreihen

Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter

Seien ${\omega }_1,{\omega }_2\in ℂ\setminus \{0\}$ zwei komplexe Zahlen mit $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}\in ̸ℝ$. Das von ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ erzeugte Gitter $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ist

$\mathrm{\Omega }:=\{\omega =a{\omega }_1+b{\omega }_2:a,b\in \mathbb{Z}\}$.

Die Eisensteinreihe vom Gewicht $k$ zum Gitter $\mathrm{\Omega }$ in $ℂ$ ist die unendliche Reihe der Form

$G_k(\mathrm{\Omega }):=\sum _{0=\omega \in \mathrm{\Omega }}{\omega }^{-k}$.

Diese Reihen sind absolut konvergent für $k\ge 3$; für ungerades $k$ ist $G_k(\mathrm{\Omega })=0$.

Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene

$G_4$

$G_6$

$G_8$

$G_{10}$

$G_{12}$

$G_{14}$

Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter der Form $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ mit $\tau \in ℍ=\{z\in ℂ\mid \mathrm{Im}z>0\}$ beschränken, denn für ein Gitter $\mathrm{\Omega }$ mit Basis $({\omega }_1,{\omega }_2)$ gilt stets:

$G_k(\mathrm{\Omega })=G_k({\omega }_1,{\omega }_2)={\omega }_2^{-k}{G}_k(\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2},1)$,

und da die Basis so gewählt werden kann, dass $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}\in ℍ$ gilt, kann man die Eisensteinreihen jedes Gitters berechnen, sobald man sie für diejenigen mit Basis $(\tau ,1),\tau \in ℍ$ kennt. Für letztere schreibt man auch abkürzend:

$G_k(\tau ):=G_k(\tau ,1)=\sum _{(0,0)=(m,n)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}\frac{1}{(m\tau +n{)}^k}$.

Man kann die Eisensteinreihe $G_k$ also als eine Funktion auf der oberen Halbebene auffassen.

Eisenstein-Reihen sind holomorph in der oberen Halbebene und in der Spitze ($Imz\to \mathrm{\infty }$).

Die Eisensteinreihe $G_k$ ist eine Modulform vom Gewicht $k$ zur Gruppe ${\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$, das heißt für $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ mit $ad-bc=1$ gilt

$G_k\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^k{G}_k(\tau ).$

Für $k\ge 8$ sind die $G_k$ Polynome mit rationalen Koeffizienten in $G_4$ und $G_6$, d. h. $G_k\in \mathbb{Q}[G_4,G_6]$, es gilt die Rekursionsformel:

$(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}{G}_{2n-2p}$

Speziell für $n=4$ ergibt sich hieraus $7G_8=3G_4^2$ und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische Hurwitz-Identität (nach Adolf Hurwitz):

${\sigma }_7(m)={\sigma }_3(m)+120\sum _{r,s\in \mathbb{N},r+s=m}{\sigma }_3(r){\sigma }_3(s)$,

dabei ist die Teilerfunktion

${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k$

die Summe der $k$-ten Potenzen der Teiler von $n$. Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.

Da in der Spitze für alle $n\ge 2$ gilt, dass $\underset{Im(\tau )\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_{2n}(\tau )=2\zeta (2n)$, folgt aus der Rekursionsformel, dass für alle $n\ge 4$ gilt:

$(n-3)(2n+1)(2n-1)\zeta (2n)=6\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)\zeta (2p)\zeta (2n-2p)$

Fourierentwicklung

Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:

$G_k(\tau )=2\zeta (k)+2\frac{(2\pi i{)}^k}{(k-1)!}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }$,

dabei ist $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$ die Riemannsche Zetafunktion. Eine weitere übliche Darstellung ist die der normierten Eisensteinreihe

$G_k^{*}(\tau )=\frac{1}{2\zeta (k)}{G}_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }.$

Dabei sind die $B_k$ die Bernoulli-Zahlen. Diese Fourierreihe hat ausschließlich rationale Fourierkoeffizienten.

Bezug zu elliptischen Funktionen

Es sei $g_2=60G_4$ und $g_3=140G_6$. Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter $\mathrm{\Omega }$ die Differentialgleichung

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2=4\mathrm{\wp }(z{)}^3-g_2(\mathrm{\Omega })\mathrm{\wp }(z)-g_3(\mathrm{\Omega }).$

Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über $ℂ$

$y^2=x^3+ax+b$

ein Gitter $\mathrm{\Omega }$ mit $a=15G_4(\mathrm{\Omega })$ und $b=35G_6(\mathrm{\Omega })$. Die elliptische Kurve wird dann parametrisiert durch

$(x,y)=(\mathrm{\wp }(z),\frac{1}{2}{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))$

mit $z\in ℂ/\mathrm{\Omega }$. Insbesondere ist jede elliptische Kurve über $ℂ$ homöomorph zu einem Torus $ℂ/\mathrm{\Omega }$.

Literatur

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher & Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2