Direkte Summe abelscher Gruppen

Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Summe von Vektorräumen. Er ist von großer Bedeutung für die Theorie abelscher Gruppen. Kann eine Gruppe in eine direkte Summe zerlegt werden, so wird dadurch die Struktur der Gruppe auf einfachere Gruppen zurückgeführt. Neue Gruppen können aus den direkten Summanden gebildet werden. Die meisten Struktursätze machen eine Aussage über eine direkte Zerlegung von Gruppen.

Definitionen

• Die abelsche Gruppe $A$ heißt genau dann direkte Summe zweier Untergruppen $A_1$, $A_2$, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind.

1. $A_1+A_2=A$.
2. $A_1\cap A_2=0$.

In diesem Fall wird geschrieben $A=A_1\oplus A_2$. Dabei bezeichnet $0$ die Untergruppe, die nur das neutrale Element $0$ enthält.

• Eine Untergruppe $A_1\hookrightarrow A$ heißt direkter Summand, wenn es eine Untergruppe $A_2$ gibt mit: $A=A_1\oplus A_2$. In diesem Fall heißt $A_2$ Komplement von $A_1$.
• $A$ heißt direkt unzerlegbar, wenn $A$ und $0$ die einzigen direkten Summanden von $A$ sind.
• Sei $(A_i\mid i\in I)$ eine Familie von Untergruppen von $A$. Die Gruppe $A$ heißt direkte Summe der $(A_i|i\in I)$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. $\sum _{i\in I}{A}_i=A$. Die Familie $(A_i\mid i\in I)$ erzeugt $A$.
2. Für jedes $i\in I$ gilt: $A_i\cap \sum _{j\ne i}{A}_j=0$.

Es wird geschrieben: $A=\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$, oder $A=A_1\oplus \dots \oplus A_n$, falls $I=\{1,\dots ,n\}$.

Erläuterungen, einfache Sätze

• Es seien $B,C$ Untergruppen der abelschen Gruppe $A$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • Es ist $A=B\oplus C$.
  • Jedes $a\in A$ lässt sich eindeutig schreiben als $a=b+c$ mit $b\in B,c\in C$.
  • Es ist $A=B+C$ und aus $0=b+c$ mit $b\in B,c\in C$ folgt $b=0=c$.
• Ist $A=B\oplus C$, so haben die beiden Endomorphismen ${\pi }_B:A\ni b+c\mapsto b\in A$ und ${\pi }_C:a\ni b+c\mapsto c\in A$ die folgende Eigenschaft: ${\pi }_B^2={\pi }_B,{\pi }_C^2={\pi }_C,{\pi }_C{\pi }_B={\pi }_B{\pi }_C=0$ und $1_A={\pi }_B+{\pi }_C$. Dabei ist $1_A$ die Identität auf $A$.

Homomorphismen liefern eine Möglichkeit, direkte Summanden zu kennzeichnen und zu erkennen:

• Seien $A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{g}{⟶}C$ Homomorphismen. Dann gilt:

1. $gf$ ist ein Monomorphismus $⟺\mathrm{Bild}(f)\cap \mathrm{Kern}(g)=0$ und $f$ ist ein Monomorphismus.
2. Ist $gf$ ein Epimorphismus, dann ist $\mathrm{Bild}(f)+\mathrm{Kern}(g)=B$.
3. Ist $gf$ ein Isomorphismus, dann ist $\mathrm{Bild}(f)\oplus \mathrm{Kern}(g)=B$.

• Für eine Untergruppe $B\hookrightarrow A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $B$ ist direkter Summand in $A$.
2. Es gibt einen Endomorphismus $\pi :A\to A$ mit: ${\pi }^2=\pi$ und $\pi (A)=B$.
3. Ist $\iota :B\to A$ die Inklusionsabbildung, so gibt es einen Homomorphismus $\pi :A\to B$ mit $\pi \iota =1_B$.

Beispiele

• $0$ ist direkter Summand in jeder Gruppe.
• Es sei $A$ die zyklische Gruppe $A=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=\{0,1,2,3,4,5\}$ mit der zugehörigen Addition. Es sei $U=\{0,3\},V=\{0,2,4\}$. Dann ist $A=U\oplus V$. Es sind $U$ und $V$ Untergruppen von $A$. Ihr Durchschnitt ist $0$ und ihre Summe ist $A$. Es ist beispielsweise $3+4=1mod6$.
• Die Gruppen der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind unzerlegbar. Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ direkt unzerlegbar.
• Hat die abelsche Gruppe eine größte Untergruppe $\ne A$, dann ist $A$ direkt unzerlegbar. Ist $p$ eine Primzahl, so hat $A=\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ die größte Untergruppe $p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\ne A$. Also ist $A$ direkt unzerlegbar.
• Sind $a,b$ teilerfremde ganze Zahlen, so ist $\mathbb{Z}/(a\cdot b)\mathbb{Z}=a\mathbb{Z}/(a\cdot b)\mathbb{Z}\oplus b\mathbb{Z}/(a\cdot b)\mathbb{Z}$.
• Das letzte Beispiel hat eine starke Verallgemeinerung: Sei $A$ eine Gruppe und $n\in \mathbb{N}$ mit $A\cdot n=0$. Außerdem sei $n=r\cdot s$ mit teilerfremden $r,s$. Dann ist $A=A\cdot r\oplus A\cdot s$.
• Ist ${\mathbb{Z}}^2=\{(z_1,z_2)|z_1,z_2\in \mathbb{Z}\}$, so ist ${\mathbb{Z}}^2=\overrightarrow{e_1}\mathbb{Z}\oplus \overrightarrow{e_2}\mathbb{Z}$, wobei $\overrightarrow{e_1}=(1,0),\overrightarrow{e_2}=(0,1)$ ist. Das Komplement von $\overrightarrow{e_1}\mathbb{Z}$ ist keineswegs eindeutig bestimmt. Es ist zum Beispiel auch ${\mathbb{Z}}^2=\overrightarrow{e_1}\mathbb{Z}\oplus (z,1)\mathbb{Z}$ für alle $z\in \mathbb{Z}$.
• Das letzte Beispiel gilt allgemeiner. Sei $n\ge 1$ eine natürliche Zahl. ${\mathbb{Z}}^n:=\{(z_1,\dots ,z_n)|z_i\in \mathbb{Z}\}$ die Menge der $n$- Tupel mit Komponenten aus $\mathbb{Z}$. Weiter sei $\overrightarrow{e_i}$ das Tupel, das an der Stelle $i$ eine $1$ hat und an anderen Stellen $0$. Dann ist ${\mathbb{Z}}^n=\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{\overrightarrow{e}}_i\mathbb{Z}$.
• Um zu bestimmen, ob eine Untergruppe von ${\mathbb{Z}}^2$ direkter Summand ist, gibt es ein einfaches Kriterium:

Sei $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\in {\mathbb{Z}}^2$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $\overrightarrow{a}\mathbb{Z}$ ist direkter Summand in ${\mathbb{Z}}^2$.
2. Es gibt $b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ mit $a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2=1$.

• Einige Gitter und Determinante als Flächeninhalt
• 
  Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren $(1,0)\mathbb{Z},(0,1)\mathbb{Z}$
• 
  Die Determinante als Flächeninhalt
• Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren (1,1)ℤ,(−2,−1)ℤ wird dargestellt
  Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren $(1,1)\mathbb{Z},(-2,-1)\mathbb{Z}$ wird dargestellt

Die Eigenschaft 2. des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung: Die Untergruppe $\overrightarrow{a}\mathbb{Z}$ ist genau dann direkter Summand in ${\mathbb{Z}}^2$, wenn es einen Vektor $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$ gibt, so dass $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ein Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 aufspannen.

• Die letzte Aussage lässt sich verallgemeinern. Ist $\overrightarrow{a}=(a_1,\dots ,a_n)\in {\mathbb{Z}}^n$ so gilt: $\overrightarrow{a}\mathbb{Z}$ ist genau dann direkter Summand in ${\mathbb{Z}}^n$, wenn die Zahlen $a_1,\dots ,a_n$den größten gemeinsamen Teiler $1$ haben.

Primäre Gruppen

Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei $p$ eine Primzahl. Die Gruppe $A$ heißt $p$-primär genau dann, wenn es zu jedem $a\in A$ ein $n\in \mathbb{N}$ gibt mit $a\cdot p^n=0$. Die Summe aller $p$-primären Untergruppen einer Gruppe $A$ ist $p$-primär. Es ist die größte $p$-primäre Untergruppe von $A$. Sie wird mit $A_p$ bezeichnet und heißt $p$-Primärkomponente von $A$. Es gilt:

Ist $A$ eine Torsionsgruppe, so ist $A=\underset{p\text{ prim}}{⨁}{A}_p$. Es ist $A$ direkte Summe ihrer Primärkomponenten.

Universelle Eigenschaft

• Sei $A=A_1+A_2$ für zwei Untergruppen $A_1,A_2$ und $q_i:A_i\hookrightarrow A$ die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:

1. $A=A_1\oplus A_2$.
2. Zu je zwei Homomorphismen $f_i:A_i\to B,i\in \{1,2\}$ gibt es genau einen Homomorphismus $f:A\to B$ mit $f\circ q_i=f_i$ für $i\in \{1,2\}$.

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe. Sie gilt für beliebige Indexmengen.

• Sei $(A_i\mid i\in I)$ eine Familie von Untergruppen mit $\sum _{i\in I}{A}_i=A$. Und $q_i:A_i\hookrightarrow A$ seien die Inklusionen. Dann sind äquivalent:

1. Es ist $\underset{i\in I}{⨁}{A}_i=A$.
2. Zu jeder Familie von Homomorphismen $f_i:A_i\to B$ gibt es genau ein $f:A\to B$ mit $f\circ q_i=f_i$ . Das heißt, folgendes Diagramm ist für alle $i\in I$ kommutativ.

• Seien $(A,q_i)$ und $(S,s_i)$ zwei abelsche Gruppen mit $q_i:A_i\to A$ und $s_i:A_i\to S$. Gibt es zu jeder Familie $f_i:A_i\to B$ genau ein $f:A\to B$ mit $f_i=f\circ q_i$ und genau ein $g:S\to B$ mit $f_i=g\circ s_i$, so sind $A$ und $S$ isomorph.

Einige Struktursätze

1. Satz: Ist $f:A\to \mathbb{Z}$ ein Homomorphismus, so ist $A=\mathrm{Kern}(f)\oplus a\mathbb{Z}$ mit $a\in A$ und $a\cdot \mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$.
2. Satz: Jede Untergruppe von ${\mathbb{Z}}^n$ ist direkte Summe von höchstens $n$ zyklischen Untergruppen.
3. Satz: Ist $F$ torsionsfrei und von $n$ Elementen erzeugt, so gibt es einen Monomorphismus $F\to {\mathbb{Z}}^n$.
4. Folgerung: Ist $F$ eine von $n$ Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe, so gibt es ein $k\le n$, so dass $F$ isomorph zu ${\mathbb{Z}}^k$ ist.
5. Ist $A$ endlich erzeugt, so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von $A$.

Literatur

• Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings an Categories of Modules. Springer, 1992, ISBN 0-387-97845-3.
• László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2015, ISBN 978-3-319-19421-9.
• Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.

Weblinks

• Da es recht mühsam ist die Beweise zu den Tatsachen in der angegebenen Literatur zusammen zu suchen sind hier Beweise zusammengestellt.