Dichtheitssatz von Borel

Der Dichtheitssatz von Borel (engl.: Borel density theorem) ist ein Lehrsatz der Mathematik, der Gitter in algebraischen Gruppen, wie zum Beispiel $SL(n,\mathbb{Z})$ in $SL(n,ℝ)$, charakterisiert.

Er besagt, dass jede auf einem Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ verschwindende polynomielle Funktion auf der gesamten algebraischen Gruppe $G$ identisch 0 sein muss.

Satz

Sei $G$ eine zusammenhängende halbeinfache $ℝ$-algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor, und sei $\mathrm{\Gamma }\subset G$ ein Gitter in $G$.

Dann ist $\mathrm{\Gamma }$ Zariski-dicht in $G$.

Anwendungen

Im Folgenden setzen wir voraus, dass $G$ und $\mathrm{\Gamma }$ die Voraussetzungen des Dichtheitssatzes erfüllen.

• Wenn $\varphi :G\to GL(m,ℝ)$ eine irreduzible polynominelle Darstellung von $G$ ist, dann ist die Einschränkung von $\varphi$ auf $\mathrm{\Gamma }$ ebenfalls eine irreduzible Darstellung.
• Wenn eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe $H\subset G$ von $\mathrm{\Gamma }$ normalisiert wird, dann ist sie ein Normalteiler von $G$.
• Der Zentralisator von $\mathrm{\Gamma }$ in $G$ ist das Zentrum $Z(G)$ von $G$.
• Jeder endliche Normalteiler von $\mathrm{\Gamma }$ ist in $Z(G)$ enthalten.
• $\mathrm{\Gamma }$ ist eine Untergruppe von endliche Index in seinem Normalisator.
• Es gibt eine Zerlegung $G=G_1\times \dots \times G_r$, so dass ${\mathrm{\Gamma }}_i=\mathrm{\Gamma }\cap G_i$ ein irreduzibles Gitter in $G_i$ und ${\mathrm{\Gamma }}_1\times \dots \times {\mathrm{\Gamma }}_r$ mit $\mathrm{\Gamma }$ kommensurabel ist.
• Für polynomiale Funktionen $Q\in ℝ[x_{11},\dots ,x_{nn}]$ auf $Mat(n\times ,n,ℝ)$ gilt:

$Q(\mathrm{\Gamma })=0⟹Q(G)=0.$

Literatur

• Armand Borel: Density properties for certain subgroups of semi-simple groups without compact components. Ann. of Math. (2) 72, 179–188, 1960.
• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972.
• R. J. Zimmer: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984.
• D. Witte Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2/pbk 978-0-9865716-1-9/hbd