Deligne-Kohomologie

Die Deligne-Kohomologie wird in der Mathematik, speziell der Algebraischen Geometrie, zur Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen genutzt. Sie wurde um 1972 von Pierre Deligne eingeführt (unveröffentlicht).

Definition

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und ${\mathrm{\Omega }}_{ℂ}$ die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein $n\in \mathbb{N}$ ist der Deligne-Komplex definiert durch

$𝒟(n):=\mathrm{Cone}(\mathbb{Z}\oplus {\sigma }^{\ge n}{\mathrm{\Omega }}_{ℂ}\to {\mathrm{\Omega }}_{ℂ})[-1]$.

Hierbei ist ${\sigma }^{\ge n}{\mathrm{\Omega }}_{ℂ}$ der Kokettenkomplex mit $({\sigma }^{\ge n}{\mathrm{\Omega }}_{ℂ}{)}^k=0$ für $k<n$ und $({\sigma }^{\ge n}{\mathrm{\Omega }}_{ℂ}{)}^k={\mathrm{\Omega }}_{ℂ}$ für $k\ge n$, der Kegel $\mathrm{Cone}(\mathbb{Z}\oplus {\sigma }^{\ge n}{\mathrm{\Omega }}_{ℂ}\to {\mathrm{\Omega }}_{ℂ})$ ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben $\mathbb{Z}\to ℂ$ und ${\sigma }^{\ge n}{\mathrm{\Omega }}_{ℂ}\to {\mathrm{\Omega }}_{ℂ}$ gegebenen Kettenabbildung und $A[-1]$ bezeichnet den Kettenkomplex mit $A{[-1]}^n=A^{n-1}$.

Die $n$-te Deligne-Kohomologie ist

${\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z}):=H^n(M;𝒟(n))$.

Man beachte, dass für unterschiedliche $n$ unterschiedliche Komplexe verwendet werden.

Eigenschaften

Lange exakte Sequenz

${\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})$ passt in eine exakte Sequenz

$\to H^{n-1}(M;\mathbb{Z})\to H_{dR}^{n-1}(M;ℂ)\to {\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})\to H^n(M;\mathbb{Z})\oplus {\mathrm{\Omega }}_{cl}^n(M;ℂ)\to H_{dR}^n(M;ℂ)\to$.

Hierbei bezeichnet ${\mathrm{\Omega }}_{cl}^{*}$ die geschlossenen Differentialformen und $H_{dR}^{*}$ die De-Rham-Kohomologie.

Weiter ist

$H^{n-1}(M;ℂ/\mathbb{Z})\simeq \ker ({\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})\to {\mathrm{\Omega }}_{cl}^n(M))$

und die Komposition

$H^{n-1}(M;ℂ/Z)\to {\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})\to H^n(M;\mathbb{Z})$

ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz $0\to \mathbb{Z}\to ℂ\to ℂ/\mathbb{Z}\to 0$.

Insbesondere gilt für $(n-1)$-dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:

${\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})\simeq H_{dR}^{n-1}(M;ℂ)/\mathrm{im}(H^{n-1}(M;\mathbb{Z})\to H^{n-1}(M;ℂ))\simeq ℂ/\mathbb{Z}$.

Produktstruktur

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt $\cup$, so dass ${\hat{H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb{Z})$ zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:

• für jede glatte Abbildung $f:M^{\prime }\to M$ ist $f^{*}:{\hat{H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb{Z})\to {\hat{H}}_{Del}^{*}(M^{\prime };\mathbb{Z})$ ein Ringhomomorphismus
• für alle $M$ ist $R:{\hat{H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb{Z})\to {\mathrm{\Omega }}_{cl}^{*}(M;ℂ)$ ein Ringhomomorphismus
• für alle $M$ ist $I:{\hat{H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb{Z})\to H^{*}(M;\mathbb{Z})$ ein Ringhomomorphismus
• für $a:H_{dR}^{*-1}(M;ℂ)\to {\hat{H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb{Z})$ und für alle $x\in {\hat{H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb{Z}),\alpha \in H_{dR}^{*}(M;ℂ)$ gilt

$a(\alpha )\cup x=a(\alpha \wedge R(x))$.

Hierbei sind $R,I,a$ die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.

Anwendung: Sekundäre charakteristische Klassen

Komplexe Vektorbündel

Jedem komplexen Vektorbündel $V$ mit Zusammenhangsform $\mathrm{\nabla }$ über einer Mannigfaltigkeit $M$ kann man (auf für Bündelabbildungen natürliche Weise) Klassen ${\hat{c}}_i(\mathrm{\nabla })\in {\hat{H}}_{Del}^{2i}(M;\mathbb{Z})$ zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)

${\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})\to H^n(M;\mathbb{Z})\oplus {\mathrm{\Omega }}_{cl}^n(M;ℂ)$

${\hat{c}}_i(\mathrm{\nabla })$ auf $(c_i(V),c_i(\mathrm{\nabla }))$ abbildet, wobei $c_i(\mathrm{\nabla })$ die $i$-te Chernform und $c_i(V)$ die $i$-te Chernklasse – deren Bild in $H^{2i}(M;ℂ)$ gerade die De-Rham-Kohomologieklasse von $c_i(\mathrm{\nabla })$ ist – bezeichnet.

Falls $\mathrm{\nabla }$ ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man

${\hat{c}}_i(\mathrm{\nabla })\in \ker ({\hat{H}}_{Del}^n(M;\mathbb{Z})\to H^n(M;\mathbb{Z})\oplus {\mathrm{\Omega }}_{cl}^n(M;ℂ)\simeq H_{dR}^{n-1}(M;ℂ)/\mathrm{im}(H^{n-1}(M;\mathbb{Z})\to H^{n-1}(M;ℂ))$.

Falls zusätzlich $\dim (M)=n-1$ ist, definiert

${\hat{c}}_i(\mathrm{\nabla })\in H_{dR}^{n-1}(M;ℂ)/\mathrm{im}(H^{n-1}(M;\mathbb{Z})\to H^{n-1}(M;ℂ))\simeq ℂ/\mathbb{Z}$

die Chern-Simons-Invariante von $\mathrm{\nabla }$.

Reelle Vektorbündel

Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ definiere

${\hat{p}}_i(\mathrm{\nabla }):=(-1{)}^i{\hat{c}}_{2i}(\mathrm{\nabla }\otimes ℂ)\in {\hat{H}}_{Del}^{4i}(M;\mathbb{Z})$.

Für eine $(4n-1)$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch

$CS(M,g):={\hat{p}}_n(\mathrm{\nabla })\in {\hat{H}}_{Del}^{4n}(M;\mathbb{Z})\simeq ℂ/\mathbb{Z}$.

$CS(M,g)$ ist eine konforme Invariante.

Literatur

• Ulrich Bunke: Differential Cohomology. (PDF; 1,4 MB)

Weblinks

• nLab: Deligne cohomology