Deformationsinvarianten

Die Deformationsinvarianten $I_1,I_2,I_3$ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ ausdrücken:

$\begin{array}{ccccc}{I}_1& =& \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(𝐛)& =& {\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2\\ I_2& =& \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}({𝐛}^{-1})\det (𝐛)& =& {\lambda }_1^2{\lambda }_2^2+{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2+{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2\\ I_3& =& \det (𝐛)& =& {\lambda }_1^2{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2\end{array}$

mit

• $𝐛$ der Deformationstensor
• $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(𝐛)$ der Spur des Deformationstensors,
• $\det (𝐛)$ der Determinante des Deformationstensors,
• ${𝐛}^{-1}$ der Inversen des Deformationstensors und
• ${\lambda }_{1,2,3}^2={\eta }_{1,2,3}$ der Eigenwerte des Deformationstensors.

Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor $𝐛:=𝐅\mathbf{\cdot }{𝐅}^{\mathrm{\top }}$ und den rechten Cauchy-Green Tensor $𝐂:={𝐅}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }𝐅$, denn beide Tensoren haben wegen

$𝐛\cdot \overrightarrow{v}=\eta \overrightarrow{v}\iff {𝐅}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }𝐛\cdot \overrightarrow{v}={𝐅}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }𝐅\mathbf{\cdot }{𝐅}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=𝐂\mathbf{\cdot }\mathbf{(}{𝐅}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v})=\eta ({𝐅}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v})$

Veranschaulichung der Polarzerlegung

dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß

$𝐅=𝐑\mathbf{\cdot }𝐔=𝐯\mathbf{\cdot }𝐑.$

aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften R^T · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen

$𝐯\cdot \overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}\iff 𝐛\cdot \overrightarrow{v}=𝐅\mathbf{\cdot }{𝐅}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=𝐯\mathbf{\cdot }𝐑\mathbf{\cdot }{𝐑}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }{𝐯}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=\lambda 𝐯\cdot \overrightarrow{v}={\lambda }^2\overrightarrow{v}$

die Hauptstreckungen λ_1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:

${𝐑}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }𝐯\cdot \overrightarrow{v}={𝐑}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }𝐯\mathbf{\cdot }𝐑\mathbf{\cdot }{𝐑}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}={𝐑}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }𝐑\mathbf{\cdot }𝐔\mathbf{\cdot }{𝐑}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=𝐔\mathbf{\cdot }\mathbf{(}{𝐑}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v})=\lambda ({𝐑}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}).$

Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.

Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses $J:=\det (𝐅)$ dar:

$I_3(𝐛)=I_3(𝐂)=J^2=I_3^2(𝐯)=I_3^2(𝐔).$

Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten ($J=1$) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.

Literatur

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