Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe

In der Physik wird die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe zur Beschreibung von Elementarteilchen in der relativistischen Quantenmechanik sowie zur Beschreibung von Feldern in der Quantenfeldtheorie benötigt.

Lorentz-Gruppe

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe der die Minkowski-Metrik $t^2-x^2-y^2-z^2$ invariant lassenden linearen Abbildungen der Raum-Zeit ${ℝ}^{1+3}$, also

$\text{O}(3,1):=\{A\in {ℝ}^{4\times 4}:A\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right)A^T=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right)\}$.

Sie hat vier Zusammenhangskomponenten. Die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements heißt ${\text{SO}}^{+}(3,1)$. Diese Komponente wird von $\text{SL}(2,ℂ)$ zweifach überlagert.

Insbesondere ist ihre Lie-Algebra $𝔰𝔬(3,1)$ isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C).

Endlich-dimensionale Darstellungen

Darstellungen der Lie-Algebra

Die Darstellungstheorie der sl(2,C) zeigt, dass jede $ℂ$-lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von $𝔰𝔩(2,ℂ)$ eine sogenannte Spin-$m$-Darstellung für ein $m\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$ ist. Diese Darstellung ist $(2m+1)$-dimensional und es gibt für jeden ganz- oder halbzahligen Wert von $m$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige irreduzible Darstellung ${\pi }_m$.

Es folgt dann, dass jede $ℝ$-lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von $𝔰𝔩(2,ℂ)=𝔰𝔬(3,1)$ von der Form ${\pi }_{m,n}:={\pi }_m\otimes {\bar{\pi }}_n$ mit ganz- oder halbzahligen Werten $m,n\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$ ist. Hierbei ist das Tensorprodukt zweier Lie-Algebra-Darstellungen definiert durch

${\pi }_{m,n}(X):=I_{2m+1}\otimes {\bar{\pi }}_n(X)+{\pi }_m(X)\otimes I_{2n+1}$

und ${\bar{\pi }}_n$ bezeichnet die zu ${\pi }_n$ komplex konjugierte Darstellung. (Die entsprechende Lie-Gruppen-Darstellung ist das Tensorprodukt der ersten Lie-Gruppen-Darstellung mit dem komplex konjugierten der zweiten.)

Die Darstellung ${\pi }_{m,n}$ ist $(2m+1)(2n+1)$-dimensional und irreduzibel.

Projektive Darstellungen

Jede Lie-Algebren-Darstellung ${\pi }_{m,n}$ bestimmt (nach dem Zweiten Lie’schen Satz) eine (reelle) Darstellung von $\text{SL}(2,ℂ)$ und damit eine projektive Darstellung ${\rho }_{m,n}$ von ${\text{SO}}^{+}(3,1)$.

Falls $m=n$ ist, kann ${\rho }_{m,n}$ zu einer projektiven Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe $\text{O}(3,1)$ fortgesetzt werden.

Dies ist nicht möglich für $m=n$, aber jedenfalls kann dann noch ${\rho }_{m,n}\oplus {\rho }_{n,m}$ zu einer irreduziblen projektiven Darstellung von ${\text{O}}^{+}(3,1)$ fortgesetzt werden.

Darstellungen

$\text{SL}(2,ℂ)$ ist eine zweifache Überlagerung von ${\text{SO}}^{+}(3,1)$, wobei $I_2$ und $-I_2$ auf das neutrale Element $I_4\in {\text{SO}}^{+}(3,1)$ abgebildet werden. Eine Darstellung von $\text{SL}(2,ℂ)$ entspricht also genau dann einer Darstellung (und nicht nur einer projektiven Darstellung) von ${\text{SO}}^{+}(3,1)$, wenn auch $-I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\in \text{SL}(2,ℂ)$ auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Man prüft leicht nach, dass das für die Darstellungen ${\rho }_{m,n}$ genau dann der Fall ist, wenn $m$ und $n$ ganze Zahlen sind.

Wenn $m=n\in \mathbb{Z}$, dann erhält man eine Darstellung der vollen Lorentz-Gruppe $O(3,1)$.

Beispiele

Im Folgenden bezeichne $(m,n)$ die $(2m+1)(2n+1)$-projektive Darstellung ${\rho }_{m,n}$ von $S{O}^{+}(3,1)$.

• (0, 0) ist die in relativistischen Skalarfeld-Theorien verwendete skalare Lorentz-Darstellung.
• $(\frac{1}{2},0)$ ist die projektive Darstellung der linkshändigen Weyl-Spinoren, $(0,\frac{1}{2})$ die der rechtshändige Weyl-Spinoren. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe ${\text{SO}}^{+}(3,1)$.
• $(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})$ ist die Bispinor-Darstellung.
• $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ ist die Vierervektor-Darstellung. Der Viererimpuls eines Teilchens transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
• $(1,0)$ ist die projektive Darstellung im Raum der selbstdualen 2-Formen und $(0,1)$ die projektive Darstellung im Raum der anti-selbstdualen 2-Formen. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe ${\text{SO}}^{+}(3,1)$.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) ist die Darstellung eines Paritäts-invarianten Feldes von 2-Formen (d. h. von Krümmungsformen). Das elektromagnetische Tensorfeld transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
•  $(1,\frac{1}{2})\oplus (\frac{1}{2},1)$ entspricht dem Rarita–Schwinger-Feld.
• (1, 1) ist die Spin-2-Darstellung eines spurlosen symmetrischen Tensorfelds.

Literatur

• Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
• Sigurður Helgason: Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions. (= Mathematical Surveys and Monographs. 83). Corrected reprint of the 1984 original. American Mathematical Society, Providence, RI 2000, ISBN 0-8218-2673-5.
• Anthony W. Knapp: Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples. (= Princeton Landmarks in Mathematics). Reprint of the 1986 original. Princeton University Press, Princeton, NJ 2001, ISBN 0-691-09089-0.
• E. R. Paërl: Representations of the Lorentz group and projective geometry. (= Mathematical Centre Tracts. No. 25). Mathematisch Centrum, Amsterdam 1969.
• W. Rühl: The Lorentz group and harmonic analysis. W. A. Benjamin, New York 1970, Vorlage:OCLC.
• Steven Weinberg: The quantum theory of fields. Vol. I: Foundations. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-55001-7.