D = 4 N = 8 Supergravitation

D = 4 N = 8 Supergravitation (kurz D = 4 N = 8 SUGRA) ist ein Spezialfall der Supergravitation, einer Kombination aus Supersymmetrie (kurz SUSY) und Gravitation (beschrieben durch die Allgemeine Relativitätstheorie), in vier Dimensionen (D = 4) und mit acht Symmetrieoperatoren (N = 8). Dies ist die höchste Anzahl an möglichen Symmetrieoperatoren, welche von den acht möglichen Halbschritten zwischen Spin −2 und Spin 2 des Gravitons stammt. Stephen Hawking spekulierte unter anderem in Eine kurze Geschichte der Zeit, dass die Theorie eine mögliche Theorie von Allem sein könnte.

Felder

Verbindung der D = 11 Supergravitation, welche D = 4 N = 8 Supergravitation durch Kompaktifizierung ergibt, und fünf Stringtheorien in der M-Theorie.

D = 4 N = 8 Supergravitation beschreibt ein Feld mit Spin 2, dessen Quantum das Graviton ist. Diesem entsprechen durch die acht Symmetrieoperatoren jeweils acht verschiedene Felder mit Spin 3/2, deren Quanta die Gravitinos sind. Darüber hinaus gibt es noch 28 Vektorbosonen mit Spin 1, 56 Fermionen mit Spin 1/2 und 70 Skalarbosonen mit Spin 0. Dabei stammen diese Zahlen aus dem Pascalschen Dreieck:

$1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{8}),8=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}),28=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{8}),56=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{8}),70=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{8}).$

Einer der Gründe, warum das Interesse an der D = 4 N = 8 Supergravitation wieder nachließ, war die notwendige Beschreibung der 28 Vektorbosonen durch die achte orthogonale Gruppe $\mathrm{O}(8)$ (mit Dimension 28) als Eichgruppe, da in diese die Eichgruppe $\mathrm{U}(1)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(3)$ (mit Dimension 12) des Standardmodells nicht eingebettet werden kann. Erst mit der zehnten orthogonale Gruppe $\mathrm{O}(10)$ (mit Dimension 45) ist dies möglich durch die Komposition der Inklusion:

$\mathrm{U}(1)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(3)\hookrightarrow \mathrm{SU}(5),(e^{i\phi },A,B)\mapsto \left(\begin{array}{cc}{e}^{3i\phi }A& 0\\ 0& e^{2i\phi }B\end{array}\right)$

mit der Inklusion $\mathrm{SU}(5)\hookrightarrow \mathrm{O}(10)$.

Verbindung zu anderen Theorien

Verbindung zur Yang-Mills-Theorie

D = 4 N = 8 Supergravitation lässt sich durch die Formulierung über Feynman-Diagramme als Produkt zweier N = 4 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorien darstellen und enthält sechs unabhängige Darstellungen von dieser.

Verbindung zur Stringtheorie

D = 4 N = 8 Supergravitation ergibt sich als Niedrigenergiegrenzwert des zehndimensionalen Typ IIA oder Typ IIB Superstrings durch Kompaktifizierung auf dem 6-Torus $T^6$. Da sich der Typ IIA-Superstring aus der D = 11 Supergravitation, welche der Niedrigenergiegrenzwert der M-Theorie ist, durch Kompaktifizierung auf der 1-Sphäre $S^1$ ergibt, ergibt sich folglich die D = 4 N = 8 Supergravitation direkt aus der D = 11 Supergravitation durch Kompaktifizierung auf einem 7-Torus $T^7$. Ebenfalls möglich ist eine Kompaktifizierung auf der 7-Sphäre $S^7$. Dies bedeutet, dass für eine vierdimensionale glatte Mannigfaltigkeit $M^4$ die D = 11 Supergravitation auf $M^4\times T^7$ oder $M^4\times S^7$ äquivalent zur D = 4 N = 8 Supergravitation auf $M^4$ ist.

Literatur

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Weblinks

• D=4 supergravity auf nLab (englisch)